Линейные функционалы и операторы в курсе функционального анализа - 26 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЯрГУ | Ярославль

Составители: 

Рубрика: 

26 § 4. Общий вид функционалов в различных пространствах
3. Если Φ
1
, Φ
2
– функции с ограниченным изменением, то
V
b
a
[Φ
1
+ Φ
2
] ≤ V
b
a
[Φ
1
] + V
b
a
[Φ
2
].
4. Если a < c < b, то
V
c
a
[Φ] + V
b
c
[Φ] = V
b
a
[Φ].
5. Если Φ – монотонная функция на [a, b], то
V
b
a
[Φ] = |Φ(a) − Φ(b)|.
6. Если Φ – ступенчатая функция, и Φ(ξ
i
+ 0) −Φ(ξ
i
−0) = h
i
, где ξ
i
– точки
разрыва функции Φ, то V
b
a
[Φ] =
P
i
|h
i
|.
7. Если Φ – дифференцируемая функция на [a, b], то
V
b
a
[Φ] =
b
Z
a
|Φ
0
(t)|dt.
8. Функция v(x) = V
x
a
[f] является монотонно неубывающей.
Используя теорему Ф. Рисса об общем виде функционала и свойства полной
вариации, можно получить более простые формулы для вычисления нормы
функционала.
Задача 4.2. Пусть f – линейный непрерывный функционал, заданный на
C[a, b], и f(x) =
b
R
a
x(t)ϕ(t)dt, где ϕ ∈ [a, b]. Доказать, что kfk =
b
R
a
|ϕ(t)|dt.
Задача 4.3. Пусть f – линейный непрерывный функционал, заданный на
C[a, b], и f(x) =
n
P
i=1
α
i
x(t
i
), где t
i
– точки из отрезка [a, b]. Доказать, что
kfk =
n
P
i=1
|α
i
|.
Приведем общий вид функционала в пространстве C
1
[a, b].
Теорема 4.5. Любой линейный непрерывный функционал f в простран-
стве C
1
[a, b] можно представить одним и только одним способом в виде
f(x) = λ · x(a) +
b
Z
a
x
0
(t)dΦ(t),
где λ – число, и Φ удовлетворяет тем же условиям, что и в теореме 4.1.

Страницы