Линейные функционалы и операторы в курсе функционального анализа - 25 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЯрГУ | Ярославль

Составители: 

Рубрика: 

Линейные функционалы и операторы в курсе фунционального анализа 25
3. Если Φ – функция скачков, то есть Φ-кусочно-постоянная функция с раз-
рывами в точках ξ
i
и Φ(ξ
i
+ 0) − Φ(ξ
i
− 0) = h
i
, то
b
Z
a
x(t)dΦ(t) =
X
i
x(ξ
i
)h
i
.
4. Если Φ – абсолютно непрерывная функция, то
b
Z
a
x(t)dΦ(t) =
b
Z
a
x(t)Φ
0
(t)dt.
Теперь мы сформулируем теорему об общем виде функционала в простран-
стве C[a, b].
Теорема 4.4 (Ф. Рисс). Всякий линейный непрерывный функционал f в
пространстве C[a, b] представим единственным способом в виде
f(x) =
b
Z
a
x(t)dΦ(t),
где Φ – функция с ограниченным изменением, Φ(a) = 0 и Φ непрерывна справа
на (a, b].
При этом
kfk = V
b
a
[Φ].
Вернемся к примеру, который мы рассматривали выше. Представим функ-
ционал f(x) = x(a) в виде интеграла Римана–Стилтьеса. Для этого нужно
выбрать функцию Φ, заданную формулой
Φ(t) =
(
1, a < t ≤ b;
0, t = a.
Тогда сумма (4.4) состоит только из одного слагаемого x(ξ
1
), где a ≤ ξ
1
< t
1
.
Так как max(t
i
− t
i−1
) → 0, то t
1
→ a. Остается учесть, что x – непрерывная
функция, а, значит, x(ξ
1
) → x(a) и x(a) =
b
R
a
x(t)dΦ(t).
Перечислим некоторые свойства полной вариации функции.
1. V
b
a
[Φ] = 0 ⇐⇒ Φ(x) = c.
2. Если α – постоянное число, то
V
b
a
[αΦ] = |α|V
b
a
[Φ].

Страницы