Линейные функционалы и операторы в курсе функционального анализа - 23 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЯрГУ | Ярославль

Составители: 

Рубрика: 

Линейные функционалы и операторы в курсе фунционального анализа 23
Теорема 4.3. Пусть f – линейный непрерывный функционал, заданный на
L
p
[a, b], 1 < p < ∞. Тог да f можно представить в виде
f(x) =
Z
[a,b]
ϕ(t)x(t)dt,
где ϕ ∈ L
q
[a, b] и
kfk = kϕk
L
q
[a,b]
,
здесь
1
p
+
1
q
= 1.
Доказательство теоремы 4.3 можно найти, например, в [5]. Прежде чем дать
общий вид функционала, заданного на пространстве C[a, b], попробуем его уга-
дать. Нетрудно проверить, что функционал f(x) =
b
R
a
ϕ(t)x(t)dt, где ϕ – непре-
рывная функция, является линейным непрерывным на C[a, b]. Однако, функ-
ционал f(x) = x(a) также обладает этими свойствами. Можно ли f(x) = x(a)
записать в виде интеграла Римана? Предположим, что нам удалось это сделать,
то есть мы нашли непрерывную функцию g такую, что
f(x) =
b
Z
a
g(t)x(t)dt.
Так как это должно быть верно для любой функции x из C[a, b], то возьмем
bx(t) = (t − a)
2
g(t). Имеем f(bx) = bx(a) = 0, а с другой стороны,
f(bx) =
b
R
a
(t − a)
2
g
2
(t)dt > 0. Получаем противоречие. Значит, записать любой
функционал f в виде интеграла Римана не удалось.
Однако это можно сделать с помощью интеграла Римана–Стилтьеса. Он
вводится как предел интегральных сумм, аналогичных обычным интегральным
суммам Римана. Напомним это определение (см. также [5]).
Начнем с определения функции с ограниченным изменением. Функция Φ,
заданная на отрезке [a, b], называется функцией с ограниченным изменением,
если существует такая постоянная C, что, каково бы ни было разбиение отрезка
[a, b] точками
a = t
0
< t
1
< t
2
< ... < t
n
= b,
выполнено неравенство
n
X
k=1
|Φ(t
k
) −Φ(t
k−1
)| ≤ C.

Страницы