Линейные функционалы и операторы в курсе функционального анализа - 21 стр.

UptoLike

Составители:

Рубрика:

Общий вид функционалов в

различных пространствах

Ранее мы приводили примеры различных функционалов и показывали, как

можно вычислить их нормы. В этом разделе для некоторых пространств будет

указан общий вид линейных функционалов, определенных на этих простран-

ствах.

Начнем с пространств l

, 1 ≤ p ≤ ∞.

Теорема 4.1. Пусть f – линейный функционал, заданный на l

1 ≤ p ≤ ∞. Тогда существует единственный элемент a ∈ l

такой, что

f(x) =

i=1

(4.1)

kfk = kak

, (4.2)

где

= 1.

Для доказательства утверждения 4.1 нужно воспользоваться неравенством

Гельдера так, как это было сделано в примере 3.2.

Теорема 4.2. Пусть f – линейный непрерывный функционал, заданный на

, 1 ≤ p < ∞. Тог да существует единственный элемент a ∈ l

такой, что

f(x) =

∞

i=1

(4.3)

kfk = kak

где

= 1.