Линейные функционалы и операторы в курсе функционального анализа - 19 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЯрГУ | Ярославль

Составители: 

Рубрика: 

Линейные функционалы и операторы в курсе функционального анализа 19
Решение. Используем интегральное неравенство Гельдера:
|
Z
[a,b]
y(t)x(t)dt| ≤
Z
[a,b]
|y(t)|
p
dt
1
p
Z
[a,b]
|x(t)|
q
dt
1
q
. (3.3)
Здесь
1
p
+
1
q
= 1; p, q ≥ 1.
Взяв p =
3
2
, q = 3, y(t) = t, получим
|f(x)| ≤
Z
[−1,1]
|t|
3
2
dt
2
3
Z
[−1,1]
|x(t)|
3
dt
1
3
.
Вычислив первый интеграл, получим kfk ≤
4
5
2
3
. С другой сторо-
ны, учтем, что неравенство Гельдера (3.3) обращается в равенство, если
x(t) = |y(t)|
p−1
sgn y(t). Выберем bx(t) = |t|
1
2
sgn t. Тогда f(bx) =
R
[−1,1]
|t|
3
2
dt =
4
5
,
а kbxk
L
3
[−1,1]
=
R
[−1,1]
|t|
3
2
dt
!
1
3
=
4
5
2
3
. Так как kfk ≥
|f(bx)|
kbxk
=
4
5
2
3
, то вместе с
доказанным ранее неравенством получим kfk =
4
5
2
3
.
Пример 3.4. Вычислить норму функционала f(x) =
1
R
−1
tx(t)dt, заданного
в пространстве C[−1, 1].
Решение. Оценивая так же, как это было сделано в примере 2.1, полу-
чим kfk ≤ kxk
C[−1,1]
. Тогда kfk ≤ 1. Для получения противоположного по
знаку неравенства попробуем подобрать непрерывную функцию bx так, чтобы
|f(bx)|
kbxk
C[−1,1]
= 1. Все попытки найти такую непрерывную функцию оказываются
безуспешными. Это объясняется тем, что она не существует. Однако если взять
функцию bx(t) = sgn(t) и рассмотреть функционал f на пространстве M[−1, 1],
то
|f(bx)|
kbxk
M[−1,1]
= 1. Но функция bx разрывна, а значит, не принадлежит простран-
ству C[−1, 1].
Поступим следующим образом. Найдем последовательность непрерывных
функций x
n
таких, что x
n
(t) → bx(t) для каждого t ∈ [−1, 1]. Для построения
последовательности x
n
нужно ”подправить” функцию bx(t) = sgn(t) в месте
разрыва. Имеем
x
n
(t) =
1,
1
n
≤ t ≤ 1;
nt, −
1
n
≤ t ≤
1
n
;
−1, −1 ≤ t ≤ −
1
n
.

Страницы