Линейные функционалы и операторы в курсе функционального анализа - 17 стр.

UptoLike

Составители:

Рубрика:

Норма функционала

Пусть f – линейный непрерывный функционал, заданный на нормирован-

ном пространстве L. Так как f является ограниченным функционалом (см.

задачу 2.4), то существует постоянная M такая, что

|f(x)| ≤ Mkxk. (3.1)

Наименьшая из постоянных M, удовлетворяющая неравенству (3.1), назы-

вается нормой и обозначается kfk.

Таким образом,

|f(x)| ≤ kfkkxk. (3.2)

Отметим некоторые свойства нормы функционала.

Задача 3.1. Доказать, что

kfk = sup

x6=0

|f(x)|

kxk

Задача 3.2. Доказать, что

kfk = sup

kxk≤1

|f(x)| = sup

kxk=1

|f(x)|.

Задача 3.3. Доказать, что норма функционала обладает всеми свойства-

ми нормы, а именно

1) kfk ≥ 0, kfk = 0 ⇐⇒ f = 0;

2) kλfk = |λ|kfk;

3) kf + gk ≤ kfk + kgk.

Приведем примеры вычисления нормы функционала.

Пример 3.1. Вычислить норму функционала f(x) = x(1) − 2x(2), задан-

ного в пространстве C[0, 2].