Линейные функционалы и операторы в курсе функционального анализа - 15 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЯрГУ | Ярославль

Составители: 

Рубрика: 

Линейные функционалы и операторы в курсе функционального анализа 15
где
1
p
+
1
q
= 1; p, q ≥ 1.
Взяв p = 3, q =
3
2
, a
1
= x
1
, a
2
= x
2
, b
1
= 1, b
2
= −4, a
i
= b
i
= 0, i ≥ 3,
получим
|f(x)| = |x
1
− 4x
2
| ≤
|1|
3
2
+ | − 4|
3
2
2
3
|x
1
|
3
+ |x
2
|
3
1
3
≤ 9
2
3
kxk
l
3
.
Непрерывность функционала доказана.
Замечание. Можно предложить другое решение этой задачи. Функционал
f можно считать заданным на конечномерном (двумерном) подпространстве
{x ∈ l
3
: x
i
= 0, i ≥ 3}. Тогда из линейности функционала следует его непре-
рывность (см. задачу 2.2).
Пример 2.3. Рассмотрим функционал f(x) =
∞
P
i=1
x
i
, заданный на подмно-
жестве пространства l
2
, в которое входят такие последовательности,что
∞
P
i=1
x
i
< ∞. Функционал f является линейным. Выберем последовательность
x
(n)
= (
1
n
, ...,
1
n
| {z }
n
, 0, 0...). Нетрудно проверить, что kx
(n)
− x
∗
k
l
2
=
√
n
−1
, где
x
∗
= (0, 0, ...). С другой стороны, f(x
(n)
) = 1 9 0.
Таким образом, мы привели пример линейного функционала, который не
является непрерывным.
Как показывает пример 2.3, если функционал задан на бесконечномерном
пространстве, то из линейности функционала не всегда следует его непрерыв-
ность. Чтобы это свойство выполнялось, на функционал нужно наложить до-
полнительные ограничения.
Линейный функционал f заданный на нормированном пространстве L на-
зывается ограниченным, если существует такая постоянная c > 0, что для
всех элементов x ∈ L выполняется неравенство
|f(x)| ≤ ckxk
L
.
Если указанной постоянной не существует, то f называется неограничен-
ным функционалом.
Есть тесная связь между ограниченностью и непрерывностью функционала.
Задача 2.4. В нормированном пространстве линейный функционал непре-
рывен тогда и только тогда, когда он ограничен.
Задача 2.5. Доказать, что функционал f(x) = x
0
(0), заданный на множе-
стве дифф еренцируемых функций пространства C[−1, 1] является линейным
и неограниченным.

Страницы