Линейные функционалы и операторы в курсе функционального анализа - 14 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЯрГУ | Ярославль

Составители: 

Рубрика: 

14 § 2. Непрерывные линейные функционалы
Рассмотрим несколько примеров.
Пример 2.1. Доказать, что функционал f, заданный на C[−2, 2] и опре-
деляемый формулой
f(x) = x(2) +
2
Z
−2
tx(t)dt,
является непрерывным.
Решение. Легко проверить (используя свойства интеграла), что это линей-
ный функционал. Покажем, что он является непрерывным. Учитывая свойство
линейного функционала (задача 2.1), непрерывность достаточно проверить в
нуле. Выберем любую последовательность {x
n
} такую, что kx
n
k
C[−2,2]
→ 0. Так
как f(0) = 0, то нам нужно доказать, что f(x
n
) → 0. Напишем цепочку нера-
венств:
|f(x
n
)| ≤ |x
n
(2)| +
2
Z
−2
|t||x
n
(t)|dt ≤ kx
n
k
C[−2,2]
+
2
Z
−2
|t|dt
kx
n
k
C[−2,2]
.
В первом переходе использовали неравенство треугольника для чисел и сле-
дующее свойство интеграла:
b
Z
a
g(x)dx
≤
b
Z
a
|g(x)|dx. (2.1)
Во втором переходе учли определение нормы в пространстве C[a, b], из ко-
торого следует, что |x(t)| ≤ kxk
C[a,b]
для любого t ∈ [a, b].
Вычислив интеграл, получаем неравенство
|f(x
n
)| ≤ 5kx
n
k
C[−2,2]
.
Так как kx
n
k
C[−2,2]
→ 0, то f(x
n
) → 0.
Этим мы доказали непрерывность функционала f.
Пример 2.2. Пусть функционал f, заданный на l
3
, определяется форму-
лой
f(x) = x
1
− 4x
2
.
Доказать, что это непрерывный функционал.
Решение. Линейность функционала очевидна. Чтобы доказать неравенство
|f(x)| ≤ ckxk
l
3
, используем неравенство Гельдера:
∞
X
i=1
a
i
b
i
≤
∞
X
i=1
|a
i
|
p
!
1
p
·
∞
X
i=1
|b
i
|
q
!
1
q
, (2.2)

Страницы