Линейные функционалы и операторы в курсе функционального анализа - 16 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЯрГУ | Ярославль

Составители: 

Рубрика: 

16 § 2. Непрерывные линейные функционалы
Задача 2.6. Доказать, что линейный функционал, не принимающий в
некотором шаре нормированного пространства хотя бы одно значение, непре-
рывен.
Приведем геометрический смысл линейного функционала, заданного в ли-
нейном пространстве. Для этого дадим определение гиперподпространства.
Пусть L – линейное пространство, L
0
– линейное подпространство L. L
0
на-
зывается гиперподпространством, если существует элемент x
0
/∈ L
0
такой,
что L = lin(x
0
, L
0
). Говорят, что L
0
имеет коразмерность 1. Например, если L –
n-мерное пространство, то гиперподпространство – это (n − 1)-мерное подпро-
странство.
Задача 2.7. Доказать, что ядро функционала kerf является гиперпод-
пространством. Здесь f – линейный функционал.
Задача 2.8. Пусть f
1
, f
2
– линейные функционалы, заданные на L. Дока-
зать, что если kerf
1
= kerf
2
, то f
1
= λf
2
для некоторого числа λ.
Пусть L
0
– гиперподпространство в L. Множество L
1
= L
0
+ x называет-
ся гиперплоскостью. Здесь x /∈ L
0
. Иными словами, гиперплоскость – это
множество, получающееся из гиперподпространства параллельным переносом
(сдвигом) на какой-нибудь вектор x ∈ L. Например, если L = R
3
, то гиперплос-
кость – это плоскость, не проходящая через начало координат.
Задача 2.9. Доказать, что множество M = {x ∈ L : f(x) = c, c 6= 0}
является гиперплоскостью.
Утверждение 2.1. Множество M ⊂ L является гиперплоскостью тогда
и только тогда, когда M можно представить в виде M = {x ∈ L : f(x) = 1},
где f – линейный функционал, причем f определяется однозначно.
Таким образом, можно установить взаимно-однозначное соответствие между
всеми нетривиальными линейными функционалами, определенными на L, и
всеми гиперплоскостями в L.
Задача 2.10. Доказать, что линейный функционал в нормированном про-
странстве непрерывен тогда и только тогда, когда его ядро замкнуто.
Задача 2.11. Доказать, что всякая гиперплоскость в линейном норми-
рованном пространстве или замкнута, или плотна в нем.
Задача 2.12. Доказать, что любая гиперплоскость в линейном нормиро-
ванном пространстве является выпуклым множеством.
Задача 2.13. Пусть f – линейный функционал, определенный на линейном
нормированном пространстве L. Доказать, что f непрерывен тогда и только
тогда, когда множества {x ∈ L : f(x) < c} и {x ∈ L : f(x) > c} являются
открытыми в пространстве L.

Страницы