Линейные функционалы и операторы в курсе функционального анализа - 18 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЯрГУ | Ярославль

Составители: 

Рубрика: 

18 § 3. Норма функционала
Решение. Используя неравенство треугольника и определение нормы в про-
странстве C[a, b], имеем
|f(x)| ≤ |x(1)| + 2|x(2)| ≤ 3kxk
C[0,2]
.
Так как kfk – это наименьшая константа, то kfk ≤ 3. Чтобы получить
противоположное по знаку неравенство, воспользуемся тем, что kfk ≥
|f(x)|
kxk
C[0,2]
для любого x 6= 0. Тогда
kfk ≥
|x(1) − 2x(2)|
max
t∈[0,2]
|x(t)|
.
Выберем непрерывную функцию x так, чтобы max
t∈[0,2]
|x(t)| = 1 и x(1) = 1,
x(2) = −1. Такие функции существуют. Для этого нужно соединить точки
(1, 1) и (2, −1) так, чтобы не выйти за пределы полосы, определяемой прямыми
y = 1, y = −1. Тогда kfk ≥ 3 и вместе с ранее полученным неравенством имеем
kfk = 3.
Пример 3.2. Вычислить норму функционала f(x) = 2x
1
− 3x
3
, заданного
в пространстве l
4
.
Решение. Используя неравенство Гельдера (см.(2.2)), получим
|f(x)| ≤
2
4
3
+ 3
4
3
3
4
·
|x
1
|
4
+ |x
2
|
4
1
4
≤ c · kxk
l
4
.
Здесь c =
2
4
3
+ 3
4
3
3
4
.
Из определения нормы функционала следует, что kfk ≤ c.
С другой стороны, для любого x ∈ l
4
(x 6= 0) выполняется неравенство
kfk ≥
|f(x)|
kxk
l
4
(см. (3.2)). Подберем последовательность bx так, чтобы
|f(bx)|
kbxk
l
4
= c.
Для этого учтем, что неравенство Гельдера (2.2) обращается в равенство, если
b
i
= |a
i
|
p−1
sgn a
i
. Взяв p =
4
3
, q = 4, a
1
= 2, a
3
= −3, a
i
= 0, i 6= 1, 3 и
bx
i
=
2
1
3
, i = 1;
−3
1
3
, i = 3;
0, в остальных случаях,
получим f(bx) = 2
4
3
+ 3
4
3
, kbxk
l
4
=
2
4
3
+ 3
4
3
1
4
. Тогда
|f(bx)|
kbxk
l
4
= c. Окончательно
имеем kfk = c.
Пример 3.3. Вычислить норму функционала f(x) =
R
[−1,1]
tx(t)dt, заданно-
го в пространстве L
3
[−1, 1].

Страницы