Линейные функционалы и операторы в курсе функционального анализа - 20 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЯрГУ | Ярославль

Составители: 

Рубрика: 

20 § 3. Норма функционала
Вычислим f(x
n
). Воспользуемся тем, что функция tx
n
(t) является четной.
Тогда
f(x
n
) = 2
1
n
Z
0
nt
2
dt +
1
Z
1
n
tdt
= 1 −
1
3n
2
.
Так как kx
n
k
C[−1,1]
= 1, то
kfk ≥
|f(x
n
)|
kx
n
k
= 1 −
1
3n
2
.
Если n устремить к бесконечности, то получим kfk ≥ 1. Итак, kfk = 1.
В отличие от предыдущих примеров мы не смогли найти функцию bx такую,
что kfk =
|f(bx)|
kbxk
.
Дадим геометрическую интерпретацию нормы функционала.
Утверждение 3.1. Пусть f – линейный непрерывный функционал, задан-
ный на нормированном пространстве L. Тогда
kfk =
1
inf
x∈L
f
kxk
; (3.4)
здесь L
f
= {x ∈ L : f(x) = 1}.
Таким образом, чтобы найти норму функционала, нужно построить гипер-
плоскость L
f
и найти расстояние d от нуля до этой гиперплоскости. Тогда
kfk =
1
d
.
Покажем, как можно найти норму функционала, используя формулу (3.4).
Пример 3.5. Вычислить норму функционала f(x) = 3x
1
− 4x
2
, заданного
в пространстве l
2
∞
.
Решение. На плоскости построим прямую 3x
1
−4x
2
= 1. Чтобы найти рас-
стояние от нуля до этой прямой, нарисуем шар с центром в нуле радиуса r так,
чтобы шар не пересекал данную прямую. Теперь увеличиваем размер шара до
тех пор, пока он не коснется прямой. Радиус этого шара – это и есть расстояние
от нуля до L
f
. Напомним, что kxk
l
2
∞
= max(|x
1
|, |x
2
|), поэтому шар B[0, r] – это
квадрат с центром в нуле, стороны которого параллельны координатным осям.
Длина стороны квадрата равна 2r. В нашем случае касание произойдет в точке
с координатами (r, −r). Так как эта точка лежит на прямой, то 3r + 4r = 1 и
d =
1
7
. Окончательно имеем kfk = 7.

Страницы