Линейные функционалы и операторы в курсе функционального анализа - 22 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЯрГУ | Ярославль

Составители: 

Рубрика: 

22 § 4. Общий вид функционалов в различных пространствах
Доказательство этого утверждения можно найти в [5] или [6].
Хотя приведенные выше утверждения очень похожи, доказательство второ-
го существенно сложнее первого. Это объясняется тем, что в теореме 4.2 фигу-
рирует бесконечномерное пространство, а значит, нужно проверять сходимость
всех рядов, встречающихся при доказательстве утверждения. Покажем это на
примере сравнения (4.1) и (4.3).
Пусть f – линейный функционал, заданный на l
n
p
. Выберем базис e
1
, ..., e
n
.
Тогда x =
n
P
i=1
x
i
e
i
. В силу линейности функционала f имеем f(x) =
n
P
i=1
f(x
i
)e
i
.
Обозначив a
i
= f(x
i
), получим (4.1).
Пусть теперь f – линейный непрерывный функционал, заданный на l
p
,
1 ≤ p < ∞ и e
k
= (0, 0, ..., 0
| {z }
k−1
, 1, 0, 0, ...). Покажем, что любой элемент
x ∈ l
p
можно записать в виде x =
∞
P
i=1
x
i
e
i
. Для этого заметим, что
x −
n
P
i=1
x
i
e
i
l
p
=
∞
P
i=n+1
|x
i
|
p
1
p
. Так как x ∈ l
p
, то ряд
∞
P
i=1
|x
i
|
p
1
p
сходит-
ся, а, значит, остаток этого ряда
∞
P
i=n+1
|x
i
|
p
1
p
стремится к нулю. Этим мы
доказали, что
x −
n
P
i=1
x
i
e
i
l
p
→ 0, а, значит, x =
∞
P
i=1
x
i
e
i
.
Покажем теперь, что f(x) =
∞
P
i=1
f(e
i
)x
i
. Здесь нужно использовать свойства
функционала f (линейности недостаточно!). Имеем
f(x) −
n
X
i=1
f(e
i
)x
i
≤
f
x −
n
X
i=1
x
i
e
i
!
≤ kfk
x −
n
X
i=1
x
i
e
i
l
p
.
В первом переходе учли линейность функционала f, а во втором – его огра-
ниченность. Устремляя n к бесконечности, получим (4.3).
Заметим, что теорема 4.2 неверна для p = ∞. Однако можно получить
аналог этого утверждения, если заменить l
∞
на более узкое пространство.
Задача 4.1. Доказать, что любой линейный непрерывный функционал,
заданный на c
0
, имеет вид
f(x) =
∞
X
i=1
a
i
x
i
и
kfk = kak
l
1
.
Напомним, что c
0
⊂ l
∞
, а элементами c
0
являются последовательности, схо-
дящиеся к нулю.

Страницы