Линейные функционалы и операторы в курсе функционального анализа - 24 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЯрГУ | Ярославль

Составители: 

Рубрика: 

24 § 4. Общий вид функционалов в различных пространствах
Полным изменением (или полной вариацией) функции Φ называется следу-
ющая величина
V
b
f
[Φ] := sup
n
X
k=1
|Φ(t
k
) − Φ(t
k−1
)|.
Здесь верхняя грань берется по всевозможным конечным разбиениям отрезка
[a, b].
Перейдем теперь к определению интеграла Римана–Стилтьеса. Пусть Φ –
функция с ограниченным изменением, заданная на [a, b], и x – произвольная
функция на этом же отрезке. Рассмотрим некоторое разбиение
a = t
0
< t
1
< t
2
< ... < t
n
= b.
Выбрав в каждом [t
i−1
, t
i
) произвольную точку ξ
i
, составим сумму
n
X
i=1
x(ξ
i
)[Φ(t
i
) − Φ(t
i−1
)]. (4.4)
Если при max(t
i
−t
i−1
) → 0 суммы (4.4) стремятся к некоторому пределу и
не зависят от способа разбиения [a, b] и выбора точек ξ
i
, то этот предел назы-
вается интегралом Римана–Стилтьеса от функции x по функции Φ и
обозначается символом
b
Z
a
x(t)dΦ(t).
Заметим, что если Φ(t) = t, то интеграл Римана–Стилтьеса совпадает с
интегралом Римана.
В дальнейшем мы будем работать с интегралом Римана–Стилтьеса только
от непрерывных функций x. Отметим несколько свойств интеграла в предпо-
ложении, что x – непрерывная функция.
1. Если Φ
1
, Φ
2
– две функции с ограниченным изменением на [a, b], совпа-
дающие всюду, кроме конечного или счетного числа внутренних точек отрезка,
то
b
Z
a
x(t)dΦ
1
(t) =
b
Z
a
x(t)dΦ
2
(t).
2. Если Φ = Φ
1
+ Φ
2
, то
b
Z
a
x(t)dΦ(t) =
b
Z
a
x(t)dΦ
1
(t) +
b
Z
a
x(t)dΦ
2
(t).

Страницы