Линейные функционалы и операторы в курсе функционального анализа - 13 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЯрГУ | Ярославль

Составители: 

Рубрика: 

2.
Непрерывные линейные
функционалы
Пусть L – линейное нормированное пространство. Отображение f, действу-
ющее из L в R, будем называть функционалом.
Функционал f называется линейным, если он аддитивен, то есть для всех
l
1
, l
2
из L
f(l
1
+ l
2
) = f(l
1
) + f(l
2
),
и однороден, то есть для всех l ∈ L и любых вещественных чисел λ
f(λl) = λf(l).
Множество kerf = {x ∈ L : f(x) = 0} называется ядром функционала f.
Функционал f называется непрерывным в точке x
0
∈ L, если для любого
ε > 0 существует δ > 0, что для всех x таких, что kx − x
0
k
L
< δ выполняется
неравенство |f(x) − f(x
0
)| < ε.
Дадим более удобное в применении определение непрерывного функциона-
ла, которое в линейном нормированном пространстве эквивалентно определе-
нию, данному ранее.
Функционал f называется непрерывным в точке x
0
∈ L, если для любой
последовательности {x
n
}, сходящейся к x
0
, f(x
n
) сходится к f(x
0
).
Если функционал непрерывен в каждой точке пространства L, то его будем
называть непрерывным на L.
Приведем простейшие свойства линейных непрерывных функционалов.
Задача 2.1. Доказать, что если линейный функционал непрерывен в
какой-либо одной точке x
0
∈ L, то он непрерывен на L.
Задача 2.2. Доказать, что если линейный функционал задан на конечно-
мерном пространстве, то он непрерывен.
Задача 2.3. Пусть f – линейный функционал. Доказать, что если
|f(x)| ≤ ckxk, то f – непрерывный функционал.
13

Страницы