Линейные функционалы и операторы в курсе функционального анализа - 11 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЯрГУ | Ярославль

Составители: 

Рубрика: 

Линейные функционалы и операторы в курсе функционального анализа 11
Среди всех нормированных пространств выделим пространства, которые на-
зываются полными (банаховыми). Для этого напомним определение фунда-
ментальной последовательности.
Последовательность {x
n
} точек нормированного пространства L называ-
ется фундаментальной (сходящейся в себе), если она удовлетворяет усло-
вию Коши, то есть если для любого ε > 0 существует такое N = N(ε), что
kx
k
− x
m
k
L
< ε для всех k, m > N.
Нетрудно проверить, что любая сходящаяся последовательность является
фундаментальной. Для этого достаточно использовать неравенство треуголь-
ника. Однако обратное утверждение неверно. Существу ют фундаментальные
последовательности, которые не сходятся. Используя понятие фундаменталь-
ности, можно решать задачи, в которых требуется проверить сходимость по-
следовательности.
Пример 1.7. Будет ли последовательность x
(n)
= (1, 1, ..., 1
| {z }
n
, 0, 0...) схо-
диться в пространствах l
p
, p ≥ 1?
Решение. Так как kx
(n)
− x
(n+1)
k
l
p
= 1, то можно сделать вывод, что по-
следовательность {x
(n)
} не является фундаментальной, а значит, не может схо-
диться в пространстве l
p
.
Пример 1.8. Будет ли последовательность x
(n)
= (1,
1
2
,
1
3
, ...,
1
n
, 0, 0...) схо-
диться в пространстве l
1
?
Решение. Если, как в предыдущем примере, вычислить расстояние между
x
(n)
и x
(n+1)
, то получим
kx
(n)
− x
(n+1)
k
l
1
=
1
n + 1
→ 0.
Но отсюда нельзя сделать вывод о том, что это фундаментальная последо-
вательность (эту ошибку часто делают студенты). Последовательность фунда-
ментальна, если kx
(n)
− x
(m)
k
l
1
→ 0 при n → ∞, m → ∞. А мы взяли частный
случай m=n + 1. Если взять m=2n, то
kx
(n)
− x
(2n)
k
l
1
=
1
n + 1
+
1
n + 2
+ ... +
1
2n
≥ n ·
1
2n
=
1
2
.
Следовательно, последовательность не может сходиться, так как она даже не
фундаментальна.
После того, как мы напомнили определения сходящейся и фундаментальной
последовательностей, мы можем дать определение банахова пространства.
Линейное нормированное пространство L называется банаховым, если лю-
бая фундаментальная последовательность этого пространства сходится. Отме-
тим, что все пространства, приведенные в начале этого раздела (кроме про-
странства
f
L
p
[a, b]), являются банаховыми.

Страницы