Линейные функционалы и операторы в курсе функционального анализа - 9 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЯрГУ | Ярославль

Составители: 

Рубрика: 

Линейные функционалы и операторы в курсе функционального анализа 9
Задача 1.3. Можно ли на множестве непрерывно дифференцируемых на
[a, b] функций взять за норму следующую величину
1) kxk = min
t∈[a,b]
|x(t)| + |x(a)|;
2) kxk = max
t∈[a,b]
|x
0
(t)|;
3) kxk =
b
R
a
|x
0
(t)|dt;
4) kxk = max
t∈[a,b]
|x
0
(t)| + |x(a)|.
5) kxk = max
t∈[a,b]
|x
0
(t)| + |x(a) − x(b)|.
C понятием нормы тесно связано понятие сходимости. Пусть x
1
, x
2
, ... – по-
следовательность точек в нормированном пространстве L. Говорят, что эта по-
следовательность сходится к x
∗
∈ L, если kx
n
− x
∗
k
L
→ 0 при n → ∞.
Приведем несколько задач на сходимость последовательностей.
Пример 1.4. Будет ли последовательность x
(n)
= (
1
n
,
1
n
, ...,
1
n
| {z }
n
, 0, 0...) схо-
диться в пространстве l
1
?
Решение. Предположим, что последовательность {x
(n)
} сходится к x
∗
∈ l
1
.
Тогда последовательность {x
(n)
} сходится к x
∗
покоординатно. Так как
x
(n)
i
=
1
n
, если n ≥ i, то x
(n)
i
→ 0 при n → ∞ (i- фиксировано). Следова-
тельно, x
∗
= (0, 0, 0, ...). С другой стороны,
kx
(n)
− x
∗
k
l
1
=
n
X
i=1
1
n
= 1.
Полученное противоречие показывает, что последовательность {x
(n)
} не схо-
дится в пространстве l
1
.
Пример 1.5. Будет ли последовательность x
n
(t) = t
n
sin(1 − t) + t
2
схо-
диться в пространстве C[0, 1]?
Решение. Предположим, что последовательность сходится к функции
x
∗
∈ C[0, 1]. Так как сходимость в пространстве C[0, 1] равносильна равно-
мерной сходимости, то {x
n
} сходится к x
∗
и поточечно. Заметим, что x
n
(t) → t
2
для любого t ∈ [0, 1]. Тогда x
∗
(t) = t
2
. Но из поточечной сходимости не следует
равномерной сходимости, поэтому необходимо проверить сходится ли последо-
вательность к x
∗
равномерно. Обозначим Φ = x
n
−x
∗
. Так как Φ(0) = Φ(1) = 0
и Φ(t) > 0 при t ∈ (0, 1), то максимум непрерывной функции Φ достигается
во внутренней точке отрезка [0, 1]. Чтобы найти точку максимума, вычислим
производную функции Φ. Имеем
Φ
0
(t) = nt
n−1
sin(1 − t) − t
n
cos(1 − t).

Страницы