Линейные функционалы и операторы в курсе функционального анализа - 8 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЯрГУ | Ярославль

Составители: 

Рубрика: 

8 1. Линейные нормированные пространства
Нормированное пространство X называется непрерывно вложенным в
нормированное пространство Y (пишется X → Y ), если
1) X ⊂ Y ;
2) существует такая постоянная γ > 0, что для любого x ∈ X выполняется
неравенство
kxk
Y
≤ γkxk
X
.
Постоянная γ называется константой вложения.
Задача 1.2. Доказать, что
1) l
1
→ l
p
→ l
q
→ l
∞
;
2) C[a, b] → L
∞
[a, b] → L
q
[a, b] → L
p
[a, b] → L
1
[a, b];
здесь q > p.
В каждом случае найти константу вложения.
Указание: использовать неравенство Гельдера (см. (2.2) или (3.3)).
Пример 1.1. Можно ли на множестве дважды непрерывно дифференци-
руемых на [a, b] функций взять за норму следующую величину
kxk = |x(a)| + |x
0
(a)| + |x
00
(a)|?
Решение. Чтобы решить эту задачу, нужно проверить свойства нормы.
Можно заметить, что первое свойство нормы не выполняется. Действительно,
пусть kxk = 0. Тогда
|x(a)| = |x
0
(a)| = |x
00
(a)| = 0. (1.1)
Отсюда не следует, что x(t) = 0. Например, функция x(t) = (t −a)
3
удовлетво-
ряет условиям (1.1). Таким образом, ответ на задачу 1.3 является отрицатель-
ным.
Пример 1.2. Можно ли на числовой прямой в качестве нормы взять
функцию kxk = |x
3
| ?
Решение. Покажем, что не выполняется второе свойство нормы. Действи-
тельно, пусть λ = 2, x = 1. Тогда kλxk = 2
3
= 8, а λkxk = 2 · 1 = 2.
Пример 1.3. Можно ли на плоскости в качестве нормы взять функцию
kxk =
p
|x
1
| +
p
|x
2
|
2
?
Решение. Несложно проверить (сделать самостоятельно), что первые два
свойства нормы выполняются. Докажем, что не выполняется третье свойство.
Возьмем x = (
1
4
, 0), y = (0,
1
4
). Тогда kxk = kyk =
1
4
. С другой стороны,
x + y =
1
4
,
1
4
и kx + yk = 1. Получаем kx + yk ≥ kxk+ kyk.
Замечание. Линейное пространство называется квазинормированным,
если третье свойство нормы (неравенство треугольника) заменяется на более
слабое условие kx + yk ≤ c(kxk + kyk). Докажите, что пространство l
n
p
при
0 < p < 1 является квазинормированным.

Страницы