Линейные функционалы и операторы в курсе функционального анализа - 10 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЯрГУ | Ярославль

Составители: 

Рубрика: 

10 1. Линейные нормированные пространства
Для нахождения точки максимума t
∗
получим уравнение
n =
t
∗
cos(1 − t
∗
)
sin(1 − t
∗
)
.
Это уравнение имеет решение на (0, 1). Действительно, правая часть уравне-
ния является непрерывной функцией, область значения которой совпадает с
[0, +∞). Таким образом,
kx
n
− x
∗
k
C[0,1]
=
(t
∗
)
n+1
cos(1 − t
∗
)
n
.
Так как t
∗
∈ (0, 1), то kx
n
− x
∗
k
C[0,1]
≤
1
n
и последовательность сходится в
пространстве C[0, 1].
Пример 1.6. Будет ли последовательность x
n
(t) = sin
t
n
сходиться в про-
странстве L
1
[0, 1]?
Решение. Докажем, что kx
n
k
L
1
[0,1]
→ 0 при n → ∞. Имеем
kx
n
k
L
1
[0,1]
=
1
Z
0
sin
t
n
dt = n(1 − cos
1
n
).
Тогда
lim
n→∞
n(1 − cos
1
n
) = lim
t→0
1 − cos t
t
= lim
t→0
sin t = 0.
Здесь в первом переходе выполнили замену переменных, во втором – исполь-
зовали правило Лопиталя, а в третьем переходе учли непрерывность функции
sin t. Итак, последовательность сходится.
Задача 1.4. Доказать, что если последовательность {x
n
} сходится в
пространстве C[a, b], то она сходится и в пространстве L
p
[a, b].
Задача 1.5. Будет ли последовательность {x
n
} сходиться в простран-
стве X
1) x
(n)
= (e
−1
, e
−2
, ..., e
−n
, 0, 0, ...), X = l
3
;
2) x
n
(t) =
t
3
n
−
t
3
3n
, X = C[0, 1], X = L
2
[0, 1];
3) x
n
(t) = e
t
n
+ sin t, X = C[0, 1], X = L
4
[0, 1];
4) x
n
(t) =
(
t
n
, t ∈ [0, 1)
e
t
, t ∈ [−1, 0]
, X = L
2
[0, 1].
5) x
n
(t) =
(
t, t − рационально
e
t
n
+sin t
, t − иррационально
, X = L
2
[0, 1].

Страницы