Линейные функционалы и операторы в курсе функционального анализа - 7 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЯрГУ | Ярославль

Составители: 

Рубрика: 

Линейные функционалы и операторы в курсе функционального анализа 7
11. Рассмотрим множество всех функций x, заданных на [a, b], для которых
интеграл Лебега
Z
[a,b]
|x(t)|
p
dt
конечен. Здесь 1 ≤ p < ∞.
Две функции, отличающиеся только на множестве меры нуль, будем считать
тождественными. Напомним, что такие функции называются эквивалентными.
Положим
kxk =
Z
[a,b]
|x(t)|
p
dt
1
p
.
Полученное пространство обозначается L
p
[a, b] и называется пространством
Лебега. Отметим, что в отличие от пространства
f
L
p
[a, b] элементами простран-
ства являются не отдельные функции, а классы эквивалентных функций.
12. Пространство L
∞
[a, b]. Так же, как в предыдущем примере, будем счи-
тать две функции тождественными, если они отличаются лишь на множестве
меры нуль. Для функции x ∈ L
∞
[a, b] определим истинный (или существенный)
супремум по формуле
vrai sup
t∈[a,b]
|x(t)| := inf
α
(µ {t ∈ [a, b] : |x(t)| > α} = 0) .
Заметим, что для непрерывной функции истинный супремум совпадает с ее
максимумом.
Норма в L
∞
[a, b] вводится по формуле
kxk = vrai sup
t∈[a,b]
|x(t)|.
Как показывают приведенные выше примеры, на одном и том же линейном
пространстве можно по-разному вводить норму. Сравните пространства l
n
p
, а
также пространства C[a, b] и
f
L
p
[a, b].
Две нормы k · k
1
и k · k
2
, заданные на линейном пространстве L, назы-
ваются эквивалентными, если существуют такие константы a, b > 0, что
akxk
1
≤ kxk
2
≤ bkxk
1
для всех x ∈ L.
Задача 1.1. Доказать, что если X – конечномерное пространство, то
любые две нормы в нем эк вивалентны.
В частности, доказать следующее неравенство
akxk
l
n
q
≤ kxk
l
n
p
≤ bkxk
l
n
q
.
Указать наилучшие значения констант a = a(p, q, n) и b = b(p, q, n).

Страницы