Линейные функционалы и операторы в курсе функционального анализа - 5 стр.

UptoLike

Составители:

Рубрика:

Линейные нормированные

пространства

Множество L называется линейным нормированным пространством,

если

1) L – линейное пространство с умножением на вещественные (комплексные)

числа;

2) каждому элементу x ∈ L ставится в соответствие вещественное число kxk,

называемое нормой, причем предполагается, что выполняются следующие три

условия:

1. kxk ≥ 0; kxk = 0 только при x = 0;

2. kλxk = |λ|·kxk для любого x ∈ L и любого вещественного или комплекс-

ного числа λ;

3. kx + yk ≤ kxk + kyk для любых x, y ∈ L.

Приведем примеры наиболее часто встречающихся нормированных про-

странств.

1. Пространство l

, 1 ≤ p < ∞. Элементами этого пространства являются

упорядоченные наборы из n действительных чисел x = (x

, ..., x

), n ≥ 1. Норма

определяется с помощью равенства

kxk =

k=1

Заметим, что в случае p = 2 мы получаем евклидово пространство R

2. Пространство l

∞

. Элементами пространства, так же как в предыдущем

примере, являются упорядоченные наборы из n действительных чисел. Норма

определяется по формуле

kxk = max

1≤k≤n