Линейные функционалы и операторы в курсе функционального анализа - 27 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЯрГУ | Ярославль

Составители: 

Рубрика: 

Линейные функционалы и операторы в курсе фунционального анализа 27
Приведем примеры, в которых для вычисления нормы функционала будем
использовать теорему Ф. Рисса.
Пример 4.1. Представить функционал f : C[−1, 1] → R, заданный фор-
мулой
f(x) =
1
Z
−1
tx(t)dt,
в виде интеграла Римана–Стилтьеса и вычислить его норму.
Решение. Используя свойства интеграла Римана–Стилтьеса, получим
f(x) =
1
Z
−1
x(t)d
t
2
2
−
1
2
.
Функция Φ(t) =
t
2
2
−
1
2
удовлетворяет условиям теоремы 4.1. Поэтому
kfk = V
1
−1
[Φ].
Чтобы вычислить полную вариацию функции Φ, можно использовать свой-
ство 7. Но мы выберем другой, более универсальный способ. Разобьем [0, 1] на
отрезки, где функция Φ монотонна. Тогда, используя четвертое и пятое свой-
ства, получим
V
1
−1
[Φ] = V
0
−1
[Φ] + V
1
0
[Φ] = |Φ(−1) − Φ(0)| + |Φ(1) − Φ(0)| = 1.
Итак, kfk = 1.
Пример 4.2. Вычислить норму функционала f, заданного в C[−1, 1] фор-
мулой
f(x) = x(0) +
1
Z
−1
tx(t)dt.
Решение. Разобьем функционал f на сумму функционалов f
1
(x) = x(0) и
f
2
(x) =
1
R
−1
tx(t)dt. Тогда f
i
(x) =
1
R
−1
x(t)dΦ
i
(t), где Φ
1
(t) = 0 при −1 ≤ t < 0 и
Φ
1
(t) = 1 при 0 ≤ t ≤ 1, а Φ
2
(t) = (
t
2
2
−
1
2
). По свойствам интеграла Римана–
Стилтьеса
f(x) =
1
Z
−1
x(t)dΦ(t);

Страницы