Линейные функционалы и операторы в курсе функционального анализа - 30 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЯрГУ | Ярославль

Составители: 

Рубрика: 

30 § 5. Сопряженные пространства
В сформулированной ниже теореме приведено важное свойство сопряжен-
ного пространства.
Теорема 5.1. Пространство L
∗
является банаховым.
Заметим, что пространство L
∗
является банаховым независимо от того, ка-
ким было пространство L.
Пользуясь общим видом линейных непрерывных функционалов, определен-
ных в предыдущем разделе, приведем (с точностью до изоморфизма) примеры
сопряженных пространств.
Напомним, что два линейных нормированных пространства называются
изоморфными, если между ними можно установить взаимно-однозначное ли-
нейное изометричное отображение.
Пример 5.1. Доказать, что (l
n
p
)
∗
is
= l
n
q
, где
1
p
+
1
q
= 1, 1 ≤ p, q ≤ ∞.
Решение. Равенство (l
n
p
)
∗
is
= l
n
q
означает, что мы должны прежде всего
установить взаимно-однозначное соответствие между множеством всех непре-
рывных линейных функционалов, заданных на l
n
p
, и множеством l
n
q
.
Воспользуемся результатом теоремы 4.1, из которого следует, что любой
функционал f ∈ (l
n
p
)
∗
можно единственным способом представить в виде
f(x) =
n
X
i=1
a
i
x
i
. (5.1)
С другой стороны, для любого элемента a ∈ l
n
q
функционал f, который
задается с помощью формулы (5.1), является линейным и непрерывным. Та-
ким образом, мы можем отождествить функционалы f ∈ (l
n
p
)
∗
с элементами
a ∈ l
n
q
. Кроме того, как следует из теоремы 4.1, kfk = kak
l
n
q
. Следовательно,
это отображение является изометричным. Этим мы доказали, что сопряженное
к пространству l
n
p
изоморфно пространству l
n
q
.
Задача 5.1. Доказать, что
(l
p
)
∗
is
= l
q
,
где
1
p
+
1
q
= 1 и 1 ≤ p < ∞.
Задача 5.2. Доказать, что
c
∗
0
is
= l
1
,
Задача 5.3. Пусть L – банахово пр остранство. Если L
∗
сепарабельно, то
L сепарабельно.

Страницы