ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
32 § 5. Сопряженные пространства
Нетрудно доказать, что F
x
– линейный непрерывный функционал. Действи-
тельно,
F
x
(αf
1
+ βf
2
) = (αf
1
+ βf
2
)(x) = αF
x
(f
1
) + βF
x
(f
2
)
и
|F
x
(f)| ≤ kxk · kfk.
Из последнего неравенства следует, что kF
x
k ≤ kxk. Используя следствия
теоремы Хана–Банаха (см. задачу 7.1), можно доказать, что kF
x
k = kxk.
Таким образом, всякому x ∈ L ставится в соответствие функционал
F
x
∈ L
∗∗
, причем
kF
x
k = kxk
и
F
x
1
+x
2
(f) = f(x
1
+ x
2
) = F
x
1
(f) + F
x
2
(f);
F
λx
(f) = λF
x
(f).
Утверждение 5.1 доказано.
Мы доказали, что для любого L выполняется вложение L в L
∗∗
. Если
L = L
∗∗
, то L называется рефлексивным пространством.
Задача 5.8. Доказать, что l
p
, 1 < p < ∞ – рефлексивное пространство.
Задача 5.9. Доказать, что L
p
[a, b], 1 < p < ∞ – рефлексивное простран-
ство.
Задача 5.10. Доказать, что C[a, b] нерефлексивно.
Задача 5.11. При каких α ∈ R функционал
f
α
(x) =
1
Z
0
x(t)
t
α
dt
принадлежит пространству L
∗
3
[0, 1]?
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 30
- 31
- 32
- 33
- 34
- …
- следующая ›
- последняя »
