ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
34 § 6. Сильная и слабая сходимость последовательности функционалов
сходится слабо, но не сходится сильно к нулевому функционалу.
Указание. Вычислить норму функционала f
n
, используя задачу 4.2, а так-
же учесть, что для непрерывной функции x последовательность ее коэффици-
ентов Фурье сходится к нулю.
Замечание 6.1. Пространство L
∗
можно рассматривать двояко. С одной
стороны, это сопряженное к пространству L, а с другой – L
∗
– самостоятельное
пространство, а значит, с ним можно связать пространство L
∗∗
. В связи с этим
мы можем в L
∗
вводить слабую топологию двумя способами.
Последовательность {f
n
} из L
∗
называют слабо сходящейся к f ∈ L
∗
, если
F (f
n
) → F (f) для любого F ∈ L
∗∗
. Топология, порожденная этой сходимостью,
называется слабой топологией в L
∗
(порожденной пространством L
∗∗
). Наряду
с ней в пространстве L
∗
рассматривается так называемая слабая
∗
топология
(топология, порожденная пространством L). В этом случае последовательность
{f
n
} называется слабо
∗
сходящейся к f, если f
n
(x) → f(x) для любого x ∈ L.
Если следовать этой терминологии, то слабую сходимость функционалов
нужно было бы называть слабой
∗
сходимостью. Однако мы не будем менять
определения, так как такое определение слабой сходимости функционалов при-
нято во многих книгах по функциональному анализу.
Задача 6.2. Доказать, что в конечномерном пространстве понятия
сильной и слабой сходимости функционалов эквивалентны.
Задача 6.3. Пусть в пространстве C
1
[−1, 1] задана последовательность
функционалов
f
n
(x) =
n
2
x
1
n
− x
−
1
n
.
Доказать, что f
n
– линейные непрерывные функционалы и f
n
(x) → f(x),
где f(x) = x
0
(0).
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 32
- 33
- 34
- 35
- 36
- …
- следующая ›
- последняя »
