Линейные функционалы и операторы в курсе функционального анализа - 44 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЯрГУ | Ярославль

Составители: 

Рубрика: 

44 § 8. Линейные непрерывные операторы
Задача 8.2. Доказать, что если линейный оператор непрерывен в одной
точке, то он непрерывен на всей области определения.
Задача 8.3. Доказать, что если линейный оператор ограничен, то он
непрерывен.
Задача 8.4. Доказать, что если линейный оператор непрерывен, то он
ограничен.
Задача 8.5. Привести пример линейного оператора, который не является
непрерывным.
Задача 8.6. Доказать, что если линейный оператор действует в конеч-
номерном пространстве, то он непрерывен.
Задача 8.7. Пусть L, L
1
– линейные пространства, A – линейный опера-
тор, действующий из L в L
1
. Доказать, что если система x
1
, x
2
, ..., x
n
эле-
ментов из L линейно зависима, то и система Ax
1
, Ax
2
, ..., Ax
n
линейно зави-
сима.
Задача 8.8. Пусть на линейном пространстве L заданы две эквивалент-
ные нормы. A – линейный оператор, действующий в L. Д оказать, что в обеих
нормах он будет одновременно или ограниченным, или неограниченным.
Приведем примеры линейных непрерывных операторов.
Пример 8.1. Доказать, что оператор A, действующий в пространстве
C[−1, 2] и определенный формулой
Ax(s) =
2
Z
−1
st
2
x(t)dt,
является линейным непрерывным.
Решение. Линейность оператора A очевидна. Докажем, что это ограничен-
ный оператор. Напишем цепочку неравенств:
|Ax(s)| ≤
2
Z
−1
|st
2
x(t)|dt ≤ |s|(
2
Z
−1
t
2
dt)kxk
C[−1,2]
= 3|s|kxk
C[−1,2]
.
В первом переходе модуль внесли под знак интеграла, во втором – использо-
вали определение нормы в пространстве C[-1,2], в третьем переходе вычислили
интеграл. Так как s ∈ [−1, 2], то
kAxk
C[−1,2]
≤ 6kxk
C[−1,2]
.
Итак, A – ограниченный оператор, а значит, и непрерывный.

Страницы