Линейные функционалы и операторы в курсе функционального анализа - 51 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЯрГУ | Ярославль

Составители: 

Рубрика: 

Линейные функционалы и операторы в курсе функционального анализа 51
Решение. Так как A – линейный оператор, то A можно задать с помощью
матрицы
a
11
a
12
. . . a
1m
a
21
a
22
. . . a
2m
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
a
n1
a
n2
. . . a
nm
.
Обозначим y = Ax, тогда
y
j
=
m
X
k=1
a
jk
x
k
(j = 1, 2, ..., n).
Из определения нормы в пространстве l
n
∞
следует, что
kAxk
l
n
∞
= max
j
|y
j
| ≤ max
j
m
X
k=1
|a
jk
||x
k
| ≤
max
j
m
X
k=1
|a
jk
|
!
kxk
l
m
∞
.
То есть
kAk ≤ max
j
m
X
k=1
|a
jk
| = L.
Выберем строку j
0
так, чтобы
m
X
k=1
|a
j
0
k
| = max
j
m
X
k=1
|a
jk
|.
Выберем последовательность bx = (bx
1
, bx
2
, ..., bx
m
), полагая
bx
k
= sign a
j
0
k
(k = 1, 2, ..., m).
Тогда kbxk
l
m
∞
= 1 и
kAbxk
l
n
∞
= max
j
m
X
k=1
a
jk
bx
k
≥ |
m
X
k=1
a
j
0
k
bx
k
| =
m
X
k=1
|a
j
0
k
| = L.
Так как
kAk ≥
kAbxk
kbxk
=
L
1
,
то kAk = L.
Задача 9.5. Вычислить норму оператора A, действующего из l
3
∞
в l
3
∞
и
заданного формулой
Ax = (x
1
− 2x
2
+ x
3
, x
1
− 4x
3
, x
1
+ x
2
− 3x
3
).

Страницы