Линейные функционалы и операторы в курсе функционального анализа - 56 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЯрГУ | Ярославль

Составители: 

Рубрика: 

10.
Пространство линейных
ограниченных операторов
Пусть A и B – два линейных ограниченных оператора, действующих из
нормированного пространства X в нормированное пространство Y . Назовем их
суммой A + B оператор C, ставящий в соответствие элементу x ∈ X элемент
y = Ax + Bx ∈ Y.
Таким образом, Cx = Ax + Bx.
Оператор C определен на D(A)
T
D(B).
Легко проверить, что C – линейный оператор. Кроме того, так как
kCk = sup
x6=0
kCxk
Y
kxk
X
≤ sup
x6=0
kAxk
Y
kxk
X
+ sup
x6=0
kBxk
Y
kxk
X
= kAk + kBk,
то C – ограниченный оператор.
Произведение k · A оператора A на число k определяется как оператор,
который элементу x ставит в соответствие элемент k·Ax. То есть (kA)x = k·Ax,
кроме того, kk · Ak = |k| · kAk.
Операторы можно не только складывать, но и умножать. Пусть A – линей-
ный ограниченный оператор, действующий из Y в Z, а B линейный ограничен-
ный оператор, действующий из X в Y . Произведением AB операторов A и
B называется оператор F , ставящий в соответствие элементу x ∈ X элемент
z ∈ Z, такой, что z = A(Bx). Таким образом, оператор F действует из X в Y
и F (x) = A(Bx).
Задача 10.1. Доказать, что kABk ≤ kAk·kBk. Привести пример опера-
торов A и B, для которых kABk < kAk · kBk.
Обозначим через L(X, Y ) совокупность всех непрерывных линейных опера-
торов, определенных на всем X и отображающих X в Y . Множество L(X, Y )
образует линейное нормированное пространство (с тем же определением нормы
оператора, которое было дано ранее).
Заметим, что если Y = R, то L(X, Y ) = X
∗
.
56

Страницы