Линейные функционалы и операторы в курсе функционального анализа - 57 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЯрГУ | Ярославль

Составители: 

Рубрика: 

Линейные функционалы и операторы в курсе функционального анализа 57
Теорема 10.1. Пусть Y – банахово пространство, тогда L(X, Y ) тоже
банахово.
Доказательство этой теоремы см., например, в [6].
В пространстве L(X, Y ) можно определить разные виды сходимости. Будем
говорить, что последовательность {A
n
} сходится равномерно (или по норме)
к A, если
kA
n
− Ak → 0.
Если же kA
n
x − Axk
Y
→ 0, для любого x ∈ X, то сходимость будет назы-
ваться поточечной.
Так как
kA
n
x − Axk
Y
≤ kA
n
− Ak · kxk
X
,
то из равномерной сходимости следует поточечная. Приведем пример, показы-
вающий, что обратное утверждение неверно.
Пример 10.1. Доказать, что последовательность операторов
A
n
x(t) = n
t+
1
n
Z
t
x(τ)dτ,
действующих в C[0, 1], сходится поточечно к единичному оператору, но не
сходится равномерно.
Решение. Так как x(t) = n
t+
1
n
R
t
x(t)dτ, то
|A
n
x(t) − x(t)| ≤ n
t+
1
n
Z
t
|x(τ) − x(t)|dτ ≤ sup
τ∈[t,t+
1
n
]
|x(τ) − x(t)|.
Учтем, что x – непрерывная функция на отрезке [0,1]. Значит, она является
равномерно непрерывной. Тогда для любого ε > 0 и любых точек t
1
, t
2
∈ [0, 1]
найдется δ > 0 такое, что если |t
1
− t
2
| < δ, то |x(t
1
) − x(t
2
)| < ε. Так как τ ∈
[t, t+
1
n
], то |t−τ| ≤
1
n
. Выберем n
0
так, чтобы
1
n
0
< δ. Тогда |t−τ| ≤
1
n
≤
1
n
0
< δ
для всех n ≥ n
0
. Итак,
|A
n
x(t) − x(t)| ≤ sup
τ∈[t,t+
1
n
]
|x(τ) − x(t)| ≤ ε
для всех n ≥ n
0
. Так как это верно для всех t ∈ [0, 1], то kA
n
x − xk
C[0,1]
≤ ε
для всех n ≥ n
0
. А это и означает, что последовательность {A
n
} сходится к
единичному оператору поточечно.

Страницы