Линейные функционалы и операторы в курсе функционального анализа - 59 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЯрГУ | Ярославль

Составители: 

Рубрика: 

Линейные функционалы и операторы в курсе функционального анализа 59
Пусть на отрезке [a, b] задана последовательность точек
t
(n)
1
< t
(n)
2
< ··· < t
(n)
1
. (10.1)
По этой последовательности для заданной функции x ∈ C[0, 1] строится
интерполяционный многочлен Лангранжа
L
n
x(t) =
n
X
k=1
x(t
(n)
k
)
Y
i6=k
t − t
(n)
k
t
(n)
i
− t
(n)
k
.
Будет ли последовательность интерполяционных многочленов L
n
x сходиться
к функции x в пространстве C[a, b]? Чтобы ответить на этот вопрос, будем
считать L
n
оператором, действующим из C[a, b] в C[a, b]. Если бы для любой
функции x ∈ C[a, b]
kL
n
x − xk
C[a,b]
→ 0,
то kL
n
xk ≤ M
x
, так как любая сходящаяся последовательность ограничена.
Используя принцип равномерной ограниченности, получим
kL
n
k ≤ M.
С другой стороны, имеет место неравенство С. Н. Бернштейна, в силу кото-
рого
kL
n
k >
ln n
8
√
π
.
Получаем противоречие. Итак, мы доказали следующую теорему.
Теорема 10.4 (Фабер). Для любой последовательности точек (10.1) су-
ществует непрерывная функция x, к которой последовательность интерпо-
ляционных многочленов L
n
x равномерно не сходится, то есть
kL
n
x − xk
C[a,b]
9 0. (10.2)
Например, если взять последовательность {t
(n)
i
, i = 1, ··· , n}, которая дает
равномерное деление отрезка [−1, 1], и построить интерполяционные многочле-
ны L
n
x для функции Рунге x(t) =
1
1+25t
2
, то kL
n
x − xk
C[−1,1]
9 0.
Задача 10.2 (Теорема Сёге). Пусть для приближенного вычисления ин-
теграла используется квадратурная формула, имеющая вид
b
Z
a
x(t)dt ≈
n
X
k=1
A
n
k
x(t
n
k
); (10.3)
здесь a ≤ t
n
1
< ··· < t
n
n
≤ b.

Страницы