ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
60 S§ 10. Пространство линейных ограниченных операторов
Доказать, что, для того чтобы квадратурные формулы (10.3) сходились
для любой непрерывной функции, то есть
b
Z
a
x(t)dt − −
n
X
k=1
A
n
k
x(t
n
k
)
→ 0,
необходимо и достаточно, чтобы
1) sup
n
n
P
k=1
|A
n
k
| ≤ M;
2) сходимость этих формул выполнялась для каждого многочлена.
Задача 10.3. Доказать, что существует непрерывная периодическая
функция, ряд Фурье которой равномерно к ней не сходится.
Указание. Ввести в рассмотрение оператор s
n
, который является частной
суммой ряда Фурье. Как известно, эта сумма выражается интегралом Дирихле:
s
n
(x)(t) =
1
2π
2π
Z
0
x(τ)
sin((2n + 1)
τ−t
2
)
sin
τ−t
2
dτ.
Используя неравенства
|sin t| ≤ t, (0 ≤ t ≤ 2π) sin s ≥
2
π
s,
0 ≤ s ≤
π
2
,
доказать, что
ks
n
k ≥
1
8π
ln n.
Задача 10.4. Пусть A
n
– оператор кусочно-линейной интерполяции в
C[a, b] по n равноотстоящим узлам. Исследовать последовательность {A
n
}
на сходимость (равномерную и поточечную).
Пример 10.2. Исследовать на равномерную и поточечную сходимость
последовательность операторов {A
n
}, действующих в l
1
и заданных с помо-
щью формулы
A
n
x = (x
1
, ··· , x
n
, 0, 0, ···).
Решение. Покажем, что в пространстве l
1
последовательность {A
n
} схо-
дится поточечно к единичному оператору.
Действительно,
kA
n
x − xk
l
1
≤
∞
X
i=n+1
|x
i
|.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 58
- 59
- 60
- 61
- 62
- …
- следующая ›
- последняя »
