Линейные функционалы и операторы в курсе функционального анализа - 62 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЯрГУ | Ярославль

Составители: 

Рубрика: 

62 S§ 10. Пространство линейных ограниченных операторов
Решение. Покажем, что последовательность сходится равномерно к опера-
тору
Ax(t) = e · x(t).
Действительно,
k(A
n
− A)xk
C[0,1]
= max
t∈[0,1]
|(t
n
(1 − t) + e
n−1
n
− e)x(t)|.
Продолжим оценку. Имеем
k(A
n
− A)xk
C[0,1]
≤ (max
t∈[0,1]
|t
n
(1 − t)| + |e − e
n−1
n
|)kxk
C[0,1]
.
Вычислим максимум. Он достигается в точке t
n
=
n
n+1
. Тогда
kA
n
− Ak ≤
n
n
(n + 1)
n+1
+ (e − e
n−1
n
).
Остается заметить, что lim
n→∞
(e − e
n−1
n
) = 0 и
lim
n→∞
n
n
(n + 1)
n+1
= lim
n→∞
1
(n + 1)
lim
n→∞
1 −
1
(n + 1)
n
= 0.
Здесь учли, что lim
n→∞
1 −
1
(n+1)
n
= e
−1
. Таким образом,
kA
n
− Ak → 0,
и мы доказали равномерную сходимость последовательности операторов A
n
к
оператору A.
Задача 10.5. Пусть оператор A
n
задан формулой
A
n
e
k
=
(
e
1
, если k = n;
0, если k 6= n.
Исследовать характер сходимости этой последовательности операторов
в пространстве l
2
.
Задача 10.6. В пространстве C[0, 1] рассмотрим последовательность
операторов
A
n
x(t) = x(t
1+
1
n
).
Доказать, что A
n
∈ L(C[0, 1], C[0, 1]) и {A
n
} сходится к единичному опе-
ратору поточечно. Будет ли сходимость к I равномерной?
Задача 10.7. Доказать, что если {A
n
} равномерно сходится к
A ∈ L(Y, Z), B
n
равномерно сходится к B ∈ L(X, Y ), то kA
n
B
n
− ABk → 0.
Задача 10.8. Пусть есть две последовательности операторов A
n
и B
n
,
которые поточечно сходятся к A и B соответственно. Доказать, что
kA
n
B
n
(x) − AB(x)k → 0 для любого x ∈ X.
Здесь A
n
∈ L(X, X), B
n
∈ L(X, X).

Страницы