Линейные функционалы и операторы в курсе функционального анализа - 63 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЯрГУ | Ярославль

Составители: 

Рубрика: 

11.
Обратные операторы
Пусть задан линейный оператор A, действующий из X в Y , D(A) – область
определения, а Im(A) – образ этого оператора.
Оператор называется обратимым, если для любого y ∈ Im(A) уравнение
Ax = y (11.1)
имеет единственное решение.
Если A обратим, то каждому y ∈ Im(A) можно поставить в соответствие
единственный элемент x ∈ D(A), являющийся решением уравнения Ax = y.
Оператор, осуществляющий это соответствие, называется обратным к A и
обозначается A
−1
.
Из определения обратного оператора следует, что
A
−1
Ax = x
для любого x ∈ D(A) и
AA
−1
y = y
для любого y ∈ Im(A).
Обозначим через I
E
тождественный оператор, действующий из E в E, то
есть I
E
(x) = x для всех x ∈ E. П усть X = D(A) и Y = Im(A), тогда определе-
ние обратного оператора можно было бы дать следующим образом: AA
−1
= I
Y
и A
−1
A = I
X
. Наиболее просто (и знакомо) это определение выглядит для
X = Y . Тогда
AA
−1
= A
−1
A = I
X
.
Введем определение левого и правого обратного оператора.
Оператор C ∈ L(Y, X) называется правым обратным к A, если AC = I
Y
.
Аналогично, оператор F ∈ L(Y, X) называется левым обратным к A, если
F A = I
X
. В дальнейшем правый обратный оператор к A будем обозначать A
−1
r
,
а левый обратный – A
−1
l
. Таким образом, AA
−1
r
= I
Y
и A
−1
l
A = I
X
.
Задача 11.1. Доказать, что если A имеет правый обратный оператор,
то уравнение Ax = y имеет решение.
63

Страницы