Линейные функционалы и операторы в курсе функционального анализа - 65 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЯрГУ | Ярославль

Составители: 

Рубрика: 

Линейные функционалы и операторы в курсе функционального анализа 65
следует, что A
−1
y
n
(t) = cos nt. Так как ky
n
k
C[0,2]
≤
1
n
, то последовательность
y
n
сходится к функции y
∗
(t) = 0. Если бы оператор A
−1
был непрерывным, то
величина kA
−1
y
n
−A
−1
y
∗
k
C[0,2]
должна была бы стремиться к нулю при n → ∞.
Однако
kA
−1
y
n
− A
−1
y
∗
k
C[0,2]
= kcos ntk
C[0,2]
9 0.
Итак, мы доказали, что хотя оператор A непрерывен, обратный оператор
таковым не является.
Приведем два результата, которые дают достаточные условия существова-
ния обратного ограниченного оператора.
Теорема 11.1. Пусть линейный оператор A, отображающий нормиро-
ванное пространство X на нормированное пространство Y , удовлетворяет
условию
kAxk
Y
≥ mkxk
X
, m > 0
для всех x ∈ X. Тог да существует обратный линейный ограниченный опера-
тор A
−1
и
kA
−1
k ≤
1
m
.
Теорема 11.2. Пусть X – банахово пространство, A ∈ L(X, X) и
kAk < 1. Тогда оператор I − A имеет обратный ограниченный оператор,
который можно найти по формуле
(I − A)
−1
=
∞
X
k=0
A
k
и
k(I − A)
−1
k ≤
1
1 − kAk
.
Перейдем к формулировке последнего результата этого раздела – теореме
Банаха об обратном операторе. Это третий основной принцип линейного функ-
ционального анализа. Два других (теорема Хана–Банаха и теорема Банаха–
Штейнгауза) были приведены ранее.
Теорема 11.3. Пусть X, Y – банаховы пространства и A – линейный
непрерывный оператор, взаимно-однозначно отображающий X на Y . Тогда
обратный оператор A
−1
: Y → X непрерывен.
Приведем несколько примеров вычисления обратного оператора.
Пример 11.2. Доказать, что оператор A : C[0, 1] → C[0, 1]
Ax(t) = x(t) +
1
Z
0
e
s+t
x(s)ds
непрерывно обратим, и найти оператор A
−1
.

Страницы