Линейные функционалы и операторы в курсе функционального анализа - 66 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЯрГУ | Ярославль

Составители: 

Рубрика: 

66 § 11. Обратные операторы
Решение. Оператор A определен на всем пространстве C[0, 1] и
kAk ≤ 1 + max
t∈[0,1]
1
Z
0
e
s+t
ds = 1 + (e − 1) · e.
Так как C[0, 1] – банахово пространство, то, как утверждается в теореме
11.3, для того чтобы доказать непрерывную обратимость оператора A, нужно
показать, что при каждом y ∈ C[0, 1] уравнение
Ax(t) = x(t) + e
t
1
Z
0
e
s
x(s)ds = y(t) (11.2)
имеет единственное решение.
Обозначим c =
1
R
0
e
s
x(s)ds, тогда из (11.2) следует, что решение уравнения
нужно искать в виде
x(t) = y(t) − c · e
t
. (11.3)
Умножим (11.3) на e
t
и проинтегрируем по [0, 1]:
1
Z
0
e
t
x(t)dt =
1
Z
0
e
t
y(t)dt − c ·
e
2
− 1
2
.
Так как c =
1
R
0
e
t
x(t)dt, то
c ·
e
2
+ 1
2
=
1
Z
0
e
t
y(t)dt.
Выразив отсюда c и подставив в (11.3), окончательно имеем
x(t) = y(t) −
2
e
2
+ 1
1
Z
0
e
t+s
y(s)ds ≡ A
−1
y(t).
Несложно проверить, что x – решение исходного уравнения и
kA
−1
k ≤ 1 +
2
e
2
+ 1
e(e − 1).
Задача 11.3. Пусть оператор A : C[a, b] → C[a, b] определяется формулой
Ax(t) = x(t) − λ
1
Z
0
ϕ(t)ψ(s)x(s)ds;

Страницы