Линейные функционалы и операторы в курсе функционального анализа - 68 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЯрГУ | Ярославль

Составители: 

Рубрика: 

68 § 11. Обратные операторы
Так как g(0) = 0, то c(0) = γ = 0. Итак,
g(t) =
t
Z
0
e
s−t
y(s)ds
и
x(t) = A
−1
y(t) = y(t) −
t
Z
0
e
s−t
y(s)ds.
Оценим норму оператора A
−1
. Так как
kA
−1
yk
C[0,1]
≤ (1 + max
t∈[0,1]
t
Z
0
e
s−t
ds)kyk
C[0,1]
= (2 − e
−1
)kyk
C[0,1]
,
то kA
−1
k ≤ 2 − e
−1
.
Задача 11.4. Пусть оператор A : C[a, b] → C[a, b] определяется формулой
Ax(t) = x(t) − λ
t
Z
0
ϕ(t)ψ(s)x(s)ds, λ 6= 0;
здесь ϕ, ψ ∈ C[a, b] и ϕ, ψ не равны нулю тождественно. Доказать, что A –
непрерывно обратимый оператор и найти A
−1
.
Пример 11.4. Рассмотрим оператор A : C[0, 1] → C[0, 1], заданный фор-
мулой
Ax(t) = x
00
(t) + x(t),
областью определения которого является множество дважды непрерывно
дифференцируемых на [0, 1] функций x таких, что x(0) = 0, x
0
(0) = 0. До-
казать, что A непрерывно обратим, и найти оператор A
−1
.
Решение. Рассмотрим уравнение
x
00
(t) + x(t) = y(t)
с начальными условиями x(0) = x
0
(0) = 0 и произвольной функцией y ∈ C[0, 1].
Известно, что эта задача (задача Коши) имеет единственное решение. Найдем
его. Для этого рассмотрим сначала однородное уравнение
x
00
(t) + x(t) = 0.

Страницы