ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
70 § 11. Обратные операторы
Задача 11.7. Рассмотрим оператор A : C[0, 1] → C[0, 1], заданный фор-
мулой
Ax(t) = x
000
(t) + x
00
(t).
Пусть областью определения этого оператора являются трижды
непрерывно дифференцируемые функции, удовлетворяющие условию
x(0) = x
0
(0) = x
00
(0) = 0. Найти оператор A
−1
.
Задача 11. 8. Рассмотрим оператор B : C[0, 1] → C[0, 1], заданный фор-
мулой
Bx(t) =
1
Z
0
e
−t−s
x(s)ds.
1) Доказать, что kBk < 1.
2) Доказать, что B
k
=
1−e
−2
2
k−1
· B.
3) Рассмотреть оператор A = B + I и доказать, что A
−1
=
∞
P
k=0
(−1)
k
B
k
(сравните с теоремой 11.2).
4) Найти оператор A
−1
.
Пример 11.5. Доказать, что оператор A : l
2
→ l
2
непрерывно обратим.
Найти оператор A
−1
и вычислить его норму.
Ax = (x
1
+ x
2
, x
1
− x
2
, x
3
, x
4
, ...).
Решение. Так как kAxk
l
2
≤
√
2kxk
l
2
, то A ∈ L(l
2
, l
2
). Учитывая то, что l
2
–
банахово пространство, для доказательства непрерывной обратимости операто-
ра A достаточно показать (в силу теоремы Банаха об обратном операторе), что
уравнение Ax = y имеет единственное решение для любого y ∈ l
2
. Тогда
(x
1
+ x
2
, x
1
− x
2
, x
3
, x
4
, ...) = (y
1
, y
2
, y
3
, ...).
Отсюда следует, что x
1
+ x
2
= y
1
; x
1
− x
2
= y
2
; x
i
= y
i
, i = 3, 4, .... Итак,
уравнение Ax = y имеет единственное решение
x = A
−1
y =
y
1
+ y
2
2
,
y
1
− y
2
2
, y
3
, y
4
, ...
.
Вычислим норму оператора A
−1
. Из определения нормы в пространстве l
2
сле-
дует, что
kA
−1
yk
2
l
2
= (
y
1
+ y
2
2
)
2
+ (
y
1
− y
2
2
)
2
+ y
2
3
+ ... ≤
y
2
1
2
+
y
2
2
2
+ y
2
3
+ ... ≤ kyk
2
l
2
.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 68
- 69
- 70
- 71
- 72
- …
- следующая ›
- последняя »
