Линейные функционалы и операторы в курсе функционального анализа - 69 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЯрГУ | Ярославль

Составители: 

Рубрика: 

Линейные функционалы и операторы в курсе функционального анализа 69
Общее решение этого уравнения имеет вид x(t) = c
1
sin t+c
2
cos t. Общее ре-
шение неоднородного уравнения будем решать методом вариации произвольной
постоянной. Тогда общее решение можно записать в виде
x(t) = c
1
(t) sin t + c
2
(t) cos t.
Известно, что функции c
1
, c
2
определяются из системы
(
c
0
1
(t) sin t + c
0
2
(t) cos t = 0
c
0
1
(t) cos t − −c
0
2
(t) sin t = y(t).
Решив эту систему уравнений, найдем, что c
0
1
(t) = y(t) cos t,
c
0
2
(t) = −y(t) sin t. Тогда
c
1
(t) =
t
Z
0
y(s) cos sds + γ
1
и
c
2
(t) = −
t
Z
0
y(s) sin sds + γ
2
.
Так как x(0) = c
2
(0) = 0, то γ
2
= 0. Кроме того, x
0
(0) = c
1
(0) = 0, поэтому
γ
1
= 0. Окончательно получим
x(t) =
t
Z
0
sin(t − s)y(s)ds = A
−1
y(t).
Этим мы доказали, что уравнение Ax = y имеет единственное решение для
любого y ∈ C[0, 1]. Остается отметить, что
kA
−1
k ≤ max
t∈[0,1]
t
Z
0
|sin(t − s)|ds ≤ 1.
Задача 11.5. Доказать, что оператор A из примера 11.4 является неогра-
ниченным.
Задача 11.6. В пространстве C
1
[0, 1] рассмотрим подмножество
L = {x ∈ C
1
[0, 1] : x(0) = 0} и оператор A : L → C[0, 1], заданный фор-
мулой
Ax(t) = x
0
(t) + 2x(t).
Доказать, что A непрерывно, обратим и найти A
−1
.

Страницы