Линейные функционалы и операторы в курсе функционального анализа - 71 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЯрГУ | Ярославль

Составители: 

Рубрика: 

Линейные функционалы и операторы в курсе функционального анализа 71
Отсюда следует, что kA
−1
k ≤ 1. Кроме того, если взять e
3
= (0, 0, 1, 0, 0...), то
A
−1
e
3
= e
3
и
kA
−1
k ≥
kA
−1
e
3
k
l
2
ke
3
k
l
2
= 1.
Итак, kA
−1
k = 1.
Задача 11.9. В пространстве l
2
рассмотрим операторы A, B, переводя-
щие элементы x = (x
1
, x
2
, ...) ∈ l
2
в Ax = (0, x
1
, x
2
, ...), Bx = (x
2
, x
3
, ...). Какие
из операторов A
−1
, B
−1
, A
−1
r
, A
−1
l
, B
−1
r
, B
−1
l
существуют?
Задача 11.10. Пусть в пространстве l
2
2
задан оператор A поворота на
угол α. Найти оператор A
−1
и вычислить его норму.
Задача 11.11. В пространстве l
2
рассмотрим оператор A, переводящий
элемент x = (x
1
, x
2
, ...) ∈ l
2
в Ax = (λx
1
, λ
2
x
2
, ...), где λ
n
∈ R. При каких
условиях на последовательность {λ
n
} существует обратный оператор A
−1
?
Будет ли он ограничен?
Задача 11.12. Найти условия, при которых оператор A : l
1
→ l
1
непре-
рывно обратим, если
Ax = (c
1
x
1
+ c
2
x
2
, d
1
x
1
+ d
2
x
2
, x
3
, x
4
, ...)
Найти оператор A
−1
и вычислить его норму.
Задача 11.13. Пусть E – подмножество пространства C
1
[0, 1], кото-
рое состоит из непрерывно дифференцируемых функций в нуле равных ну-
лю. Доказать, что существует непрерывный обратный оператор к оператору
A : E → C[0, 1]:
a) Ax(t) = x
0
(t) + 4x(t);
б) Ax(t) = x
0
(t) − 2tx(t);
в) Ax(t) = (t + 1)x
0
(t) − x(t);
г) Ax(t) = (t
2
+ 1)x
0
(t) − 2tx(t).
Найти оператор A
−1
.
Задача 11.14. В пространстве C[0, 1] рассмотрим операторы A и B,
определенные формулами
Ax(t) = (t + 1)x(t), Bx(t) = x(t
2
).
Чему равны (AB)
−1
и (BA)
−1
?
Задача 11.15. Пусть E – линейное нормированное пространство,
A, A
−1
∈ L(E, E) и k = kAk · kA
−1
k – число обусловленности оператора A.
Рассмотрим уравнение Ax = y, y 6= 0. Пусть x – его приближенное решение.

Страницы