ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
12.
Сопряженные операторы
Пусть X, Y – линейные нормированные пространства, A – линейный ограни-
ченный оператор, действующий из X в Y . Пусть g ∈ Y
∗
. Применим функционал
g к элементу y = Ax. Обозначим его f(x). Таким образом,
f(x) = g(Ax). (12.1)
Нетрудно проверить, что f ∈ X
∗
. Этим мы каждому функционалу g ∈ Y
∗
поставили в соответствие фунционал f ∈ X
∗
, то есть получили некоторый опе-
ратор, отображающий Y
∗
в X
∗
. Этот оператор называется сопряженным к
оператору A и обозначается A
∗
.
Таким образом,
A
∗
(g) = f. (12.2)
Тогда из (12.1) и (12.2) получим
g(Ax) = (A
∗
g)(x).
Это соотношение, верное для любого x ∈ X и любого g ∈ Y
∗
, можно при-
нять за определение сопряженного оператора A
∗
, действующего из Y
∗
в X
∗
.
Проиллюстрируем это определение на конкретных примерах.
Пример 12.1. Найти оператор, сопряженный к оператору A : L
2
[0, 1] →
L
2
[0, 1], если
Ax(t) =
t
Z
0
x(s)ds.
Решение. Любой функционал g, заданный на L
2
[0, 1], можно записать в
виде
g(x) =
1
Z
0
a(s)x(s)ds.
73
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 71
- 72
- 73
- 74
- 75
- …
- следующая ›
- последняя »
