Линейные функционалы и операторы в курсе функционального анализа - 74 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЯрГУ | Ярославль

Составители: 

Рубрика: 

74 § 12. Сопряженные операторы
В дальнейшем нам будет удобно функцию a ∈ L
2
[0, 1] тоже обозначить сим-
волом g, таким образом,
g(x) =
1
Z
0
g(s)x(s)ds.
Тогда
g(Ax) =
1
Z
0
g(s)
s
Z
0
x(τ)dτ
ds.
Поменяв порядок интегрирования, получим
g(Ax) =
1
Z
0
1
Z
τ
g(s)ds
x(τ)dτ.
Так как f(x) =
1
R
0
f(τ)x(τ)dτ и f(x) = g(Ax), то отсюда получим
f(t) =
1
R
t
g(s)ds. С другой стороны, f = A
∗
g. Окончательно имеем
A
∗
y(t) =
1
R
t
y(τ)dτ.
Пример 12.2. Найти оператор, сопряженный к оператору A : l
1
→ l
1
,
если
Ax = (x
1
− x
2
, x
1
+ x
2
, x
3
, x
4
, ...).
Решение. Любой функционал g ∈ l
∗
1
можно записать в виде
g(x) =
∞
X
i=1
g
i
x
i
.
Тогда g(Ax) = g
1
(x
1
−x
2
)+g
2
(x
1
+x
2
)+g
3
x
3
+... = (g
1
+g
2
)x
1
+(−g
1
+g
2
)x
2
+
g
3
x
3
+ .... Из равенства f(x) = g(Ax) получим, что f
1
= g
1
+ g
2
, f
2
= −g
1
+ g
2
,
f
i
= g
i
при i ≥ 3. Здесь учли, что f(x) =
∞
P
i=1
f
i
x
i
. Так как f = A
∗
g, то оператор
A
∗
: l
∞
→ l
∞
задается формулой A
∗
y = (y
1
+ y
2
, −y
1
+ y
2
, y
3
, y
4
, ...).
Задача 12.1. Найти сопряженный к оператору A : l
1
→ l
1
, если
(Ax)
i
=
∞
P
j=1
a
ij
x
j
. Вычислить норму A и A
∗
.
Отметим следующие свойства сопряженных операторов:
1) (A + B)
∗
= A
∗
+ B
∗
;
2)(AB)
∗
= B
∗
A
∗
;
3) (A
−1
)
∗
= (A
∗
)
−1
(если (A
−1
существует).

Страницы