Линейные функционалы и операторы в курсе функционального анализа - 76 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЯрГУ | Ярославль

Составители: 

Рубрика: 

76 § 12. Сопряженные операторы
Задача 12.2. Найти оператор, сопряженный к оператору A : L
2
[0, 1] →
L
2
[0, 1], если
1) Ax(t) = tx(t);
2) Ax(t) =
1
R
0
t
2
x(s)ds;
3) Ax(t) =
1
R
0
t
3
sx(s)ds.
Проверить, что выполняется равенство kA
∗
k = kAk.
Задача 12.3. Пусть A – оператор, действующий в n-мерном простран-
стве R
n
. Доказать, что A
∗
= A
|
.
Задача 12.4. Найти оператор, сопряженный к оператору A : l
1
→ l
1
,
если
1) Ax = (x
2
, x
1
, x
3
, x
4
...);
2) Ax = (λ
1
x
1
, λ
2
x
2
, ...), |λ
n
| ≤ 1;
3) Ax = (0, 0, x
1
, x
2
, ...);
4) Ax = (x
1
− 2x
3
, x
2
+ 4x
3
, x
3
, x
4
, ...).
Задача 12.5. Доказать, что оператор A : L
2
[a, b] → L
2
[a, b], заданный
формулой
Ax(t) =
1
Z
0
sin(ts)x(s)ds,
является самосопряженным.
Задача 12.6. Найти оператор, сопряженный к оператору
A : L
2
[a, b] → L
2
[a, b], если
Ax(t) =
b
Z
a
K(s, t)x(s)ds.
При каких условиях на ядро оператор A является самосопряженным?

Страницы