Линейные функционалы и операторы в курсе функционального анализа - 75 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЯрГУ | Ярославль

Составители: 

Рубрика: 

Линейные функционалы и операторы в курсе функционального анализа 75
Теорема 12.1. Пусть X, Y – банаховы пространства и A – линейный
непрерывный оператор, отображающий X в Y . Тогда сопряженный опе-
ратор A
∗
, действующий из Y
∗
в X
∗
, является линейным непрерывным и
kA
∗
k = kAk.
Если рассматривать линейные операторы, заданные в гильбертовом про-
странстве, то, благодаря наличию в нем скалярного произведения, определение
сопряженного оператора можно дать более просто.
Пусть A – линейный ограниченный оператор, действующий в гильбертовом
пространстве H. Оператор A
∗
называется сопряженным к A, если для любых
x, y ∈ H выполняется равенство
(Ax, y) = (x, A
∗
y). (12.3)
Можно проверить, что это определение совпадает с определением сопряженного
оператора данным ранее.
Линейный ограниченный оператор A называется самосопряженным, если
A = A
∗
.
Пример 12.3. Найти оператор, сопряженный к оператору A : L
2
[0, 1] →
L
2
[0, 1], если
Ax(t) =
1
Z
0
sin(t
2
s)x(s)ds.
Будет ли A самосопряженным оператором?
Решение. Так как пространство L
2
[0, 1] является гильбертовым, то мы мо-
жем воспользоваться определением (12.3). Вычислим скалярное произведение
(Ax, y). Имеем
(Ax, y) =
1
Z
0
Ax(t)y(t)dt =
1
Z
0
(
1
Z
0
sin(t
2
s)x(s)ds)y(t)dt.
Поменяв порядок интегрирования, получим
(Ax, y) =
1
Z
0
(
1
Z
0
sin(t
2
s)y(t)dt)x(s)ds = (x, A
∗
y).
Здесь A
∗
y(s) =
1
R
0
sin(t
2
s)y(t)dt. Оператор A
∗
действует в пространстве
L
∗
2
[0, 1] = L
2
[0, 1] и является ограниченным (см. пример 8.3.)
Чтобы сравнить операторы A и A
∗
, для большей наглядности сменим обо-
значения в определении оператора A
∗
. Тогда A
∗
y(t) =
1
R
0
sin(s
2
t)y(s)ds и, конеч-
но, операторы A и A
∗
не совпадают.

Страницы