Линейные функционалы и операторы в курсе функционального анализа - 77 стр.

UptoLike

Составители:

Рубрика:

13.

Компактные операторы

Среди множества линейных ограниченных операторов выделим класс опе-

раторов, которые называются компактными.

Компактные операторы обладают двумя важными особенностями. Во-

первых, этот класс по своим свойствам близок к конечномерным, а значит,

может быть хорошо изучен. Во-вторых, компактные операторы имеют много-

численные применения.

Прежде чем дать определение компактного оператора, напомним опреде-

ление компактного множества. Множество M ⊂ L называется компактным,

если из любой его последовательности можно выделить сходящуюся подпосле-

довательность. Множество называется предкомпактным, если его замыкание

– компакт.

Теперь мы можем дать определение компактного оператора. Линейный огра-

ниченный оператор A, определенный на линейном нормированном простран-

стве X и принимающий значения в линейном нормированном пространстве Y ,

называется компактным (или вполне непрерывным), если он отображает огра-

ниченное множество пространства X в предкомпактное множество простран-

ства Y .

Перечислим некоторые свойства компактных операторов.

Задача 13.1. Доказать, что если A, B – компактные операторы, то

αA + βB также компактный оператор; здесь α, β ∈ R.

Задача 13.2. Доказать, что если A : X → Y и Y – конечномерное про-

странство, то из ограниченности оператора A следует его компактность.

Задача 13.3. Доказать, что любой компактный оператор является огра-

ниченным.

Как показывает приводимый ниже пример, обратное утверждение в общем

случае неверно.

Задача 13.4. Доказать, что в пространстве l

единичный оператор

некомпактен.