Линейные функционалы и операторы в курсе функционального анализа - 78 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЯрГУ | Ярославль

Составители: 

Рубрика: 

78 § 13. Компактные операторы
Задача 13.5. Доказать, что в бесконечномерном нормированном про-
странстве единичный оператор некомпактен.
Задача 13.6. Доказать, что если A – компактный оператор, а B – огра-
ниченный, то операторы AB и BA компактны.
Задача 13.7. Доказать, что в бесконечномерном нормированном про-
странстве компактный оператор не может иметь ограниченного обратного.
Более сложно доказываются следующие утверждения.
Теорема 13.1. Если {A
n
} – последовательность компактных операторов,
действующих в банаховом пространстве, сходится по норме к некоторому
оператору A, то оператор A тоже компактен.
Теорема 13.2. Пусть A ∈ L(X, Y ), г де Y – банахово пространство. Опе-
ратор A компактен тогда и только тогда, когда A
∗
компактен.
Теорема 13.3. Компактные операторы A переводят слабо сходящиеся по-
следовательности в сильно сходящиеся.
Чтобы решать задачи, связанные с компактностью оператора, нужно знать
критерии компактноcти (предкомпактности) множеств в различных простран-
ствах. Приведем некоторые из них.
Теорема 13.4. (Арцела–Асколи). Для того чтобы множество M из про-
странства C[a, b] было предкомпактным, необходимо и достаточно, чтобы
это множество было
1) равномерно ограничено, то есть существует константа C такая, что
|m(t)| ≤ C
для всех t ∈ [a, b] и m ∈ M;
2) равностепенно непрерывно, то есть для любого ε > 0 найдется такое
δ > 0, что |m(t
1
) − m(t
2
)| < ε для всех t
1
, t
2
∈ [a, b] таких, что |t
1
− t
2
| < δ и
для всех функций m ∈ M.
Приведем достаточное условие равностепенной непрерывности множества в
пространстве C[a, b].
Задача 13.8. Пусть множество M ⊂ C[a, b] состоит из непрерывно диф-
ференцируемых функций таких, что km
0
k ≤ K для всех m ∈ M. Доказать,
что множество M равностепенно непрерывно.
Приведем критерий предкомпактности множества в пространстве l
p
, p ≥ 1.

Страницы