Линейные функционалы и операторы в курсе функционального анализа - 79 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЯрГУ | Ярославль

Составители: 

Рубрика: 

Линейные функционалы и операторы в курсе функционального анализа 79
Теорема 13.5. Множество M ⊂ l
p
, p ≥ 1 предкомпактно тогда и только
тогда, когда оно ограничено и
lim
n→∞
n
X
k=1
|m
k
|
p
существует равномерно относительно m ∈ M, то есть для любого
ε > 0 найдется такое N = N(ε), что при всех n > N для любого
m = (m
1
, m
2
, ...) ∈ M выполняется неравенство
∞
X
k=1
|m
k
|
p
< ε.
Отметим, что критерий предкомпактности множества в пространстве
L
p
[a, b], p ≥ 1 сформулирован в ходе решения примера 13.2.
Приведем примеры компактных операторов.
Пример 13.1. Доказать, что оператор A : C[0, 2] → C[0, 2] является
компактным, если
Ax(t) =
2
Z
0
e
ts
x(s)ds.
Решение. Пусть M – ограниченное множество в C[0, 1]. Нужно доказать,
что A(M) – образ множества M при отображении A, будет предкомпактным.
Воспользуемся критерием предкомпактности Арцела – Асколи.
Докажем сначала ограниченность A(M):
kAmk
C[0,2]
≤
max
t∈[0,2]
2
Z
0
e
ts
ds
kmk
C[0,2]
.
Так как нам не нужно точно считать константу, то интеграл можно не вы-
числять, а оценивать. Тогда max
t∈[0,2]
2
R
0
e
ts
ds ≤ 2e
4
и остается учесть, что множество
M ограничено, а это значит, что kmk
C[0,2]
≤ c для любой функции m ∈ M. Итак,
kAmk
C[0,2]
≤ 2ce
4
, и мы доказали ограниченность множества A(M).
Чтобы доказать равностепенную непрерывность A(M), обозначим
y(t) = Am(t). Тогда
|y(t
1
) − y(t
2
)| ≤
2
Z
0
|e
t
1
s
− e
t
2
s
||m(s)|ds.

Страницы