Линейные функционалы и операторы в курсе функционального анализа - 80 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЯрГУ | Ярославль

Составители: 

Рубрика: 

80 § 13. Компактные операторы
Чтобы продолжить оценку, воспользуемся теоремой о среднем:
ϕ(t
1
) − ϕ(t
2
) = ϕ
0
(ξ)(t
1
− t
2
), где ξ ∈ (t
1
, t
2
). Тогда
|e
t
1
s
− e
t
2
s
| = s · e
ξs
|t
1
− t
2
| ≤ 2e
4
|t
1
− t
2
|.
Из двух последних оценок получим
|y(t
1
) − y(t
2
)| ≤ 4e
4
· c|t
1
− t
2
|.
Отсюда сразу следует равностепенная непрерывность множества A(M), так
как для любого ε > 0 мы смогли найти δ =
ε
4e
4
c
такое, что при |t
1
− t
2
| < δ
получаем |y(t
1
) − y(t
2
)| ≤ ε. Заметим, что δ зависит только от ε. Мы доказали
предкомпактность A(M), а значит, и компактность оператора A.
Замечание. Этот пример можно было решить проще, если использовать
задачу 13.8.
Задача 13.9. Доказать, что оператор A : C[0, 1] → C[0, 1], заданный
формулой
Ax(t) =
1
Z
0
√
tsx(s)ds,
является компактным.
Задача 13.10. Доказать, что оператор A : C[a, b] → C[a, b] является
компактным, если
Ax(t) =
b
Z
a
K(s, t)x(s)ds,
где K(s, t) – непрерывная функция по s и t.
Указание. Воспользоваться равномерной непрерывностью и ограниченно-
стью ядра K(s, t).
Задача 13.11. Доказать, что оператор A : C[−1, 1] → C[−1, 1] является
компактным, если
Ax(t) =
t
Z
−1
sx(s)ds.
Задача 13.12. Проверить компактность оператора
A : C[−2, 2] → C[−2, 2], если Ax(t) = x(−2)t + x(0)t
2
.
Пример 13.2. Доказать, что оператор A : L
3
[0, 2π] → L
3
[0, 2π], заданный
формулой
Ax(t) =
2π
Z
0
sin(ts)x(s)ds,
является компактным.

Страницы