Линейные функционалы и операторы в курсе функционального анализа - 81 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЯрГУ | Ярославль

Составители: 

Рубрика: 

Линейные функционалы и операторы в курсе функционального анализа 81
Решение. Пусть M – ограниченное множество в L
3
[0, 2π], то есть kmk
L
3
≤
c. Тогда
kAmk
3
L
3
=
2π
Z
0
|
2π
Z
0
sin(ts)m(s)ds
3
|dt.
Здесь обозначили L
3
= L
3
[0, 2π].
Используя неравенство Гельдера для оценки внутреннего интеграла, полу-
чим
|
2π
Z
0
sin(ts)m(s)ds| ≤
2π
Z
0
|sin(ts)|
3
2
ds
2
3
2π
Z
0
|m(s)|
3
ds
1
3
≤ (2π)
2
3
kmk
L
3
.
Итак,
kAmk
L
3
≤ 2π · c,
а это значит, что множество A(M) ограничено.
Докажем теперь, что множество A(M) равностепенно непрерывно в сред-
нем. Действительно,
|Am(t + h) − Am(t)| ≤
2π
Z
0
|s cos sξ · hm(s)|ds.
Здесь, так же как в примере 13.1, использовали теорему о среднем. Продол-
жив оценку, получим
|Am(t + h) − Am(t)| ≤ 2π|h|
2π
Z
0
|m(s)|ds.
Применив неравенство Гельдера, имеем
|Am(t + h) − Am(t)| ≤ (2π)
2
3
+1
|h|kmk
L
3
≤ (2π)
5
3
· c|h|.
Отсюда следует, что
2π
Z
0
|Am(t + h) − Am(t)|
3
dt
1
3
≤ c · |h|(2π)
2
.
Это значит, что для любого ε > 0 мы подобрали δ =
ε
c(2π)
2
так, что для
любого |h| < δ выполняется неравенство
2π
Z
0
|Am(t + h) − Am(t)|
3
dt
1
3
≤ ε.
А это и есть определение равностепенной непрерывности в среднем.

Страницы