Линейные функционалы и операторы в курсе функционального анализа - 83 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЯрГУ | Ярославль

Составители: 

Рубрика: 

Линейные функционалы и операторы в курсе функционального анализа 83
Тогда
∞
P
k=n+1
|(Am)
k
|
4
1
4
< ε при n > n
0
. Этим мы доказали предкомпактность
множества A(M), а значит, и компактность оператора A.
Задача 13.14. Рассмотрим оператор A(x) = (α
1
x
1
, α
2
x
2
, ...), действую-
щий в l
2
. Каким условиям должна удовлетворять числовая последователь-
ность {α
n
}, чтобы оператор A был компактным?
Пример 13.4. Будет ли компактным оператор Ax(t) = x
0
(t), если он
рассматривается как оператор, действующий из C
1
[0, 1] в C[0, 1].
Решение. Докажем, что A не является компактным оператором. Для этого
в C
1
[0, 1] рассмотрим множество
M = {x
n
: x
n
(t) =
t
n+1
n + 1
, n ∈ N}.
Предположим, что A – компактный оператор. Тогда, как следует из критерия
предкомпактности Арцела–Асколи, множество A(M) должно быть равносте-
пенно непрерывно. А это значит, что для любого ε > 0 существует δ > 0, что
для любых точек t
1
, t
2
∈ [0, 1] таких, что |t
1
− t
2
| < δ, следует, что |t
n
1
− t
n
2
| < ε
для любого n. Возьмем ε =
1
2
− e
−1
, t
1
= 1, t
2
= 1 −
1
n
. Выберем n
0
так, что
1
n
0
< δ. Тогда |t
1
−t
2
| =
1
n
< δ для всех n > n
0
. Поэтому |1 −(1 −
1
n
)
n
| <
1
2
−e
−1
.
Если n устремить к бесконечности, то получим 1 − e
−1
≤
1
2
− e
−1
. П олученное
противоречие доказывает, что A не является компактным оператором.
Задача 13.15. Доказать, что оператор A : C
2
[0, 1] → C[0, 1], заданный
формулой Ax(t) = x
0
(t), является компактным.
Задача 13.16. Доказать, что оператор A : C[0, 1] → C[0, 1], заданный
формулой Ax(t) = tx(t), не является компактным.
Задача 13.17. Доказать, что оператор A : l
2
→ l
2
, заданный формулой
Ax = (x
1
, 0, x
3
, 0, ...),
не является компактным.

Страницы