Линейные функционалы и операторы в курсе функционального анализа - 85 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЯрГУ | Ярославль

Составители: 

Рубрика: 

Линейные функционалы и операторы в курсе функционального анализа 85
Решение. Сначала найдем собственные значения оператора (дискретную
часть спектра). Для этого выясним, при каких λ уравнение (t − λ)x(t) = 0
имеет ненулевое решение. Пусть x(t
0
) 6= 0 при некотором t
0
∈ [0, 1]. Так как
x – непрерывная функция, то найдется ε-окрестность точки t
0
, что x(t) 6= 0
для t ∈ [t
0
−ε, t
0
+ ε] ∩[0, 1], что невозможно. Этим мы доказали, что решение
уравнения (t − λ)x(t) = 0 является лишь функция x(t) ≡ 0. Таким образом, у
оператора A нет собственных значений.
Найдем теперь регулярные значения. Для этого решим уравнение
((t − λ)x(t) = y(t). Тогда
R
λ
(y) = x(t) =
y(t)
t − λ
.
Если λ /∈ [0, 1], то R
λ
– ограниченный оператор, действующий в C[0, 1].
Действительно, в этом случае
kR
λ
k ≤ max
1
|λ|
,
1
|1 − λ|
.
Тогда спектр оператора A состоит из всех точек отрезка [0, 1] : σ(A) = [0, 1].
В заключение покажем, что R
λ
– неограниченный оператор, если λ ∈ [0, 1].
Прежде всего отметим, что R
λ
определен не на всем пространстве C[0, 1], а
только для непрерывных функций, у которых max
t∈[0,1]
|y(t)|
|t−λ|
< ∞.
Рассмотрим последовательность
y
n
(t) =
n(t − λ) t ∈
λ −
1
n
, λ +
1
n
T
[0, 1];
1 t ∈
λ +
1
n
, 1
T
[0, 1];
−1 t ∈
0, λ −
1
n
T
[0, 1].
Очевидно, что y
n
∈ C[0, 1] и ky
n
k
C[0,1]
= 1. Кроме того, kR
λ
(y
n
)k
C[0,1]
= n и
kR
λ
k ≥ n.
Пример 14.2. Найти спектр оператора A : C[0, 1] → C[0, 1], заданного
формулой Ax(t) = x(0)t.
Решение. Найдем дискретную часть спектра, решив уравнение
x(0)t − λx(t) = 0. Если λ = 0, то x(0) = 0. Таким образом, λ = 0 яв-
ляется собственным значением. Собственные функции – это все непрерывные
функции в нуле равные нулю. Пусть λ 6= 0, тогда x(t) =
x(0)
λ
t и решение
уравнения нужно искать в виде x(t) = at. Подставив в исходное уравнение,
получим a = 0. Значит, при λ 6= 0 мы не нашли ненулевого решения уравнения
Ax = λx.
Перейдем теперь к нахождению регулярных значений оператора A (λ 6= 0).
Для этого решим уравнение x(0)t − λx(t) = y(t). Взяв t = 0, получим

Страницы