Линейные функционалы и операторы в курсе функционального анализа - 87 стр.

UptoLike

Составители:

Рубрика:

Линейные функционалы и операторы в курсе функционального анализа 87

Так как левая часть этого уравнения является дифференцируемой функци-

ей, то и функция x имеет производную. Продифференцировав, получим

x(t) = λx

(t).

Решением этой задачи Коши является функция x(t) = ce

. Так как

x(0) = 0, то c = 0 и x(t) ≡ 0. Мы доказали, что у оператора A нет ненулевых

собственных значений. Учитывая теорему 14.2 (свойство 1), имеем σ(A) = {0}.

Хотя ответ уже получен, надо уточнить: к дискретной или непрерывной части

спектра принадлежит число λ = 0?

Для этого решим уравнение

x(s)ds = 0. Продифференцировав, получим

x(t) = 0. Значит, λ = 0 принадлежит к непрерывной части спектра.

Чтобы найти резольвенту, можно воспользоваться способом, который был

применен при решении задачи 11.3. Тогда

(y)(t) = −

y(t) − −

(t−s)

y(s)ds.

Отметим, что если спектр оператора состоит только из нуля, то оператор

называется оператором Вольтерра.